Théorie du facteur intégrant ou multiplicateur
Soit l'équation (10) Paso =0.
On appelle multiplicateur où facteur intégrant un facteur n, géné-
falement fonction de x et de y, tel que l'expression u(Pax + Qdy)
soit une différentielle totale exacte.
l. Il existe un facteur intégrant sous les conditions d'existence et d’unicité de l'intégrale générale.
En effet, l’intégrale générale renferme une constante arbitraire et,
résolue par rapport à cette dernière, elle prend la forme EC) 0
Connaissant cette intégrale, on peut en déduire un facteur mtéorant ». En eflet, différentions-la totalement, puis éliminons dx et dy
entre l’équation obtenue et l’équation (10); ii vient successivement le M ? + Eve de Y FAdr PR dy = 0, Re se ren
Cette dernière équation ne renferme plus C et doit être vérifiée en tout point æ, y de l’intégrale générale, donc en un point quelconque, car on peut faire passer une intégrale particulière par ce point. C’est donc une identité : ses deux membres ne sont que deux expressions différentes d’une même fonction de x, y que nous
désignerons maintenant par ». Il vient donc identiquement
FA IGR; PS OS d’où u(Pdx + Qdy) = dE(x, 7).
Donc y est un facteur intégrant. On voit, de plus, que si l’on connaît une forme F — C de l'intégrale générale, on en déduit un facteur intégrant correspondant » = F”, : P.
On a montré au paragraphe 3 du chapitre V que les conditions d'existence et de différentiabilité admises ici pour F seront réalisées,
en particulier, si lon prend la valeur initiale y, pour constante C.
I. Si FCx, y) = C'et Fix, y) = C, sont deux formes ‘différentes
de lintégrale générale de l'équation (to), on a
En eflet, soient y et », les deux facteurs intégrants correspondants ire tue CIN b(Pdx + Qdy) = dE Li(PaT Ode dE, d'où
dE, = — dF.
Cette relation a lieu x et y étant les variables indépendantes. Elle subsiste si l’on change ces variables. Comme F contient au moins une des deux lettres 2 ou y, supposons que F contienne j. Prenons alors 4 et F comme variables indépendantes ; cette relation montre
que l’on a
Donc F, ne dépend que de F et l’on a
« U,, 2 F, = (EF), Den à (OTDE
HT. J! existe une infinité de facteurs intégrants, et si » est l’un d'eux, ils soni tous compris dans la formule générale 5%(F), la fonction ! resiant arbitraire. | |
Tout facteur intégrant y, est de cette forme, car, si u, (Pax + Qdy) = dE,, y», vérifie la dernière équation ci-dessus. Réciproquement,
tout facteur de cette forme est intégrant, car on a uU(E)(Pax + Qdy) = SPIP = dif Y(F)dE,
ce qui est une différentielle exacte.
IV. La connaissance d’un facteur intégrant permet d’oblenir l'intégrale générale par des quadratures et de déterminer immédiatement la solution singulière s’il y en à une.
