Equation du second ordre où manque (Equation
de Jacobi). — Jacobi a montré que si l’on nou une intégrale
première de l'équation DJ Re, (u) FD),
l’intégration s’achève par des quadratures. Soit, en effet, connue
l’intégrale première (contenant une constante C) dy (12) FN Te (x, J C);
sera le facteur intégrant (n° 146) de l’équation
Üo jeldisQque 5C
dy — ouûx —
de sorte que l'intégrale générale sera
do Le (dy — 9 dx) = C,.
Pour établir cette proposition, nous remarquons que toute intéorale de l’équation (tr), vérifiant (12), satisfait aussi aux deux équa-
tions suivantes : :
dy 09 0? dy
LA. = Le. X, # EE De ? 3 (6
me x | dy dx? RP PT 0Y2 FLO ER obtenues en dérivant (12) puis en éliminant les dérivées de y. Mais la dernière équation, qui a eu lieu entre x, y et C seulement, est une identité, car elle est satisfaite par des valeurs arbitraires de x, y et y” (donc de € qui est arbitraire avec y‘). On peut donc la dériver partiellement par rapport à C; on en déduit une nouvelle identité do do Oz Ù9 Ô Eng ee
5x dC dy CE À dy DC PR
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES 241 mer 7 02 s C’est précisément la condition qui exprime que 3C (dy — 3 4x) est une différentielle exacte.
Exemple. — Soit à intégrer l'équation ue M OIeE arte ee), (10e
connaissant l'intégrale première
dy — = ytg x + C cos x.
(TA s DE 22 , , , On aura 5 = cos x; l'intégrale générale sera donc
DC \cos Xdy—(ytex + Ccosx) dX]= y cos x — ê (CEE SIN VOS ER \ ; } 2.
REMARQUE. — L’équation plus générale
HE
s’intèore aussi par des ns quand on en connait une inté-
orale première. En effet, on peut, par une quadrature, faire disparaître le terme du premier ordre; ‘il faut faire le changement d’inconnue ue L’équation entre 7 et X sera une équation de Jacobi et l’on en
connaitra une intégrale première.
$ 10. Applications géométriques
209. Problème. — Trouver une courbe plane dont le rayon de courbure KR soit une fonction donnée de l’abscisse.
Soit X l'inverse de cette fonction, léquation de la courbe sera
I | RE NC Mais r : R est une dérivée exacte par rapport à x, car on a
is
