ONE YA VC EE ECO ME

Xÿy" — Xÿ? = y + bx y"? (a? — x°)

Les équations en z° sont des équations de Bernoulli et les intégrales s’obtiennent sous forme finie. Toutefois on intègre plus facilement la première équation en remarquant que tous ses termes deviennent des dérivées exactes quand on la divise par yy” (n° 206).

DEUXIÈME cas : L’équation est homogène par rapport à x et dx, c’est-à-dire se reproduit multipliée par une puissance de À quand on remplace x par ÀX sans toucher à y. L'ordre peut êlre abaissé d’une unité.

Ce cas se ramène au précédent en considérant y comme la variable indépendante, et x comme la fonction inconnue. Il faudra donc remplacer les dérivées de 7 par rapport à X par leurs expressions au moyen des dérivées de X par rapport à } (n° 204). Portant ces valeurs dans l’équation, on sera ramené au cas précédent.

En pratique, il est souvent préférable d’opérer autrement. On change de variable indépendante par la substitution x = e’. Si l’on désigne par D les dérivées relatives à /, on a, de proche en proche, par la formule Det 7 — 870% (D — a)7,

Lee AD) CAE D Nu Ne, 01 2 FER Die E DR EEr ED (D 74 HE

et, en général,

dy :

—= ge UD (D — 1)... (D —n + 1) 7.

dx ( ) ( )5 ‘ 2 2] Ainsi l’exposant de e’ dans l’expression de an est précisément d:

égal au degré d’homogénéité — n de cette dérivée. Donc, si l’on

! dy " ; , porte ces valeurs de x, Fra dans Péquation, e’ vient en facteur commun à une puissance marquée par le degré d’homogénéité. Après la suppression de ce facteur commun, la variable indépendante # aura disparu. Donc lordre de l’équation peut être abaissé d’une unité (n° 204).

Il est à remarquer que, pratiquement, quand on substitue dans

| é AVREE l'équation proposée les valeurs de “., ho (12 Xe

on néglige tout de suite les exponentielles e=", e-?f,... qui disparais-

indiquées ci-dessus,

sent du résultat et l’on remplace simplement.x par r. Exemple. -— Soit l'équation (homogène de degré 0)

L& + — | mx (2) + me |.

TR A Te Qi D PUR TR EN PAT NE RUE Se PE M AN DIRE + } A 5 ï #5 KA ERP AE PAT TAN

A es et D 00 SAT ARCS JA Ter LAS QUE

Par la substitution x —%!, on a

DID CDs + ny)?

dl Prenons Dy — p pour inconnue; nous avons D*y — p de 5 (4 db 38 AO NES p— h en DID MENU) ) 2 ( 1]

C’est une équation homogène du 1°" ordre. L'intégration s’achève

par des quadratures.

TROISIÈME CAS : L’équation est homogène par rapport à x, y et leurs.

différentielles dx, dy, d°y,..., c’est-à-dire qu’elle se reproduit multipliée par une puissance de À quand on remplace à la fois X par AX et y par AJ, À désignant une constante. L'ordre peut étre abaissé d'une unité.

Ce cas se ramène au précédent par la substitution y == #X en considérant # comme nouvelle inconnue. En effet, si l’on change x en ÀX sans toucher à #, cela revient à changer x en ÀX:êt J'en et l'équation entre # et X se reproduira multipliée par une puissance de x ; donc elle sera homogène par rapport à x et à 4x.

Pratiquement, on opère directément comme il suit : on change tout de suite de fonction et de variable par les formules

His LEA

désignant la nouvelle variable indépendante. On a alors, eu égard

à la formule du n° précédent, puis par la formule (10) du n° tor,

er et D (D— 1)... (D —n+1),eu

dx" et (D Æ 1)D D — n + 2):

cs

Portant ces'valeurs de x, 7, . dans l’équation proposée, on

obtient une équation entre # et “ où manque la variable indépendante {. Donc l’ordre de cette équation peut s’abaisser d’une unité.

Les équations d’Euler (n° 193) sont des équations homogènes de cette espèce et de degré 0. On leur applique précisément la substitution indiquée ici.

Exemples. — Les deux équations suivantes :

y nd ! 1? J 10 3 MX” tale Eee on) DXE sue SE A 1x £ x HA dx

conduisent à des équations de Bernoulli en Dw et ont respectivement

pour intégrales :

nn LC ÉRRC OET Cp TATS PE (c — arc sin +),

QUATRIÈME CAS : L'équation est homogène par rapport aux quantités x, dx (considérées comme de degré x) et y, dy, d°y,... (considérées comme de degré n), c’est-à-dire que léquation se reproduit multipliée par une puissance de x quand on remplace x par Àx et y par Ay. Ce cas se ramène au précédent en posant y — 7". Mais il est inutile de passer par cette transformation. Il vaut mieux changer

tout de suite de fonction et de variable par les formules D — C X — €”, Y = ue”,

Soit D l’indice de dérivation par rapport à /; on aura, en général, en appliquant encore la formule (10) du n° 1917,

dy

dxP

== 67 PED(D — 1)... (D — p + 1) ue!

= ei (D + n) (D +n — 1)... (D+n ms p +1)".

LA 12 L4 pe , up À L’exposant de ef est égal au deoré d’homogénéité de ee Donc, ; dx?

dy 4 LCR

exponentielle viendra en facteur commun et la variable / disparaîtra

si l’on substitue ces valeurs de x, y, . dans léquation, la même

par la suppression de ce facteur.

Exemple. — Soit l'équation (homogène de degré 4, en considé-

rant y comme un carré)

; dy (sin 0e ” GA RUE #4 je (15 An Je dx

Par les substitutions X — e’ et y — ue*!, on trouve l’équation en x

Du + 2(1 — u) Du = 0.

PT RE PA UE Te D SE Ve voa ed

240 CHAPITRE VIi. ÉQUATIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR

Le premier membre est une dérivée exacte, d’où l'intégrale

première

Du — (1 —u} = C.

Les variables se séparent et l'intégration s'achève sans difficulté.