Cas particulier (Courbe élastique). — Trouver la courbe

dont le rayon de courbure est en raison inverse de l’abscisse.

so EL :

Soit ne la raison constante, en sorte que

(° I D KR se TS Mer Tire (&) Do R ci Il faut faire X — 2x : 4* dans l’équation (3). Il viendra, en faisant

apparaître les constantes d'intégration C et C,,

\x UNE ie (s) A ar ee HONTE ? ne re

C'est l’équation de la courbe cherchée. Cette intégrale, qui ne peut s'exprimer sous forme finie, dépend des fonctions elliptiques. La courbe porte le nom de courbe élastique, parce que c’est la figure d'équilibre d’une lame élastique, quand, une des extrémités

étant fixée, l’autre supporte un poids.

211. Problème. — Jrouver les courbes dans lesquelles le rayon de courbure est proportionnel à la normale.

Soit & le rapport de proportionnalité (4 > 0). On aura (t. I,

ho io)

ne " Ne Et IL Le

On prend le signe supérieur si R et N sont du même côté de la courbe, le signe inférieur dans le cas contraire.

C’est une équation où manque x. Posons y” — p, elle devient

. dp at : F0. 2p dp 24 d\ VD) —= =: + d(x als où En Ne VD dy: ( rs p’) € I + p” 1 et, en intégrant, RARE Ce pb — /Cyr?e ar À

La valeur de x s'obtient alors par une quadrature

C © d \ TAU NE CT EE ge ml : \ P Cyr? EE ane

Mais cette quadrature ne s’effectue sous forme finie que dans des

cas particuliers, par exemple si 4 = 1. Examinons ce cas. 1° SiR et N sont du même côté de la courbe, on prend le signe supérieur : la courbe cherchée est un cercle

cf per

d'où (x — C,}? + y = C.

2° SiR et N sont de part et d’autre de la courbe, celle-ci est une

chaînette. En effet, prenant le signe inférieur et remplaçant C par I : à”, il vient.

4 x LV y + PAR Re CEA Rent cpu Re | ; j 4e TX — Ci æ — ”) Mes (RCE x Ë LA CARRE SAT 212. Equation intrinsèque d’une courbe plane. — On

appelle équation intrinsèque d’une courbe plane, la relation qui lie son rayon de courbure à son arc. Nous allons voir bientôt la raison de cette dénomination.

Supposons les coordonnées rectangulaires et soit