ÉQUATION À TROIS VARIABLES. CARACTÉRISTIQUES

Il résulte du théorème précédent que toute surface intégrale est un lieu de caractéristiques. En particulier, si l’on trace sur la surface une ligne différente d’une caractéristique, la surface intégrale sera le lieu

céométrique des caractéristiques passant par cette ligne.

235. Théorème II. — Réciproquement, toute surface qui est un lieu de caractéristiques, et qui est douée d’un plan tangent non parallèle à l’axe des ?, est une intégrale de l'équation (x).

On peut mettre cette propriété en évidence par une interprétation géométrique. L’équation (1) exprime que le plan tangent à la

surface intéorale (3), lequel a pour équation Ne PC À) eq a

contient la droite (D) qui passe par le point de contact (x, 7, ?) et

qui a pour équations

Oh D JUNE Su

(D) OR CARTE a) ACER ES

À chaque point M de l’espace correspond une droite (D) passant par ce point et que nous appellerons la droile du point (M). Intégrer équation (x), c’est déterminer une surface S telle que le plan tangent en chaque point de S contienne la droite D du même point.

Les caractéristiques sont définies par les équations (2), c’est-àdire que ce sont des courbes qui touchent en chacun de leurs points la droite (D) du même point. Il en résulte immédiatement que toute surface lieu de caractéristiques est une surface intégrale, car le plan tangent contient la /angenle à la caractéristique, qui est une courbe de la surface, c’est-à-dire la droite (D).

Le raisonnement tomberait en défaut si le plan tangent devenait parallèle à lPaxe des x, car, dans ce cas, p et q devenant infinis, équation du plan tangent ne pourrait plus être mise sous la forme que nous lui avons donnée plus haut.

Il résulte des théorèmes I et Il que l’on obtient toutes les intégrales de léquation (1) en cherchant toutes les surfaces qui sont

des lieux de caractéristiques. Pour pouvoir former ces surfaces, il

£a ME ET ñ dl " 1 1 Î LUE | { : 0 Ae 4 FOR 270. CHAPITRE IX. ÉQUATIONS LINEAIRES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

faut connaître les équations finies des caractéristiques, c’est-à-dire

intégrer les équations (2).

236. Intégration des équations des caractéristiques. — Considérons * comme la variable indépendante, j et comme les fonctions inconnues. Comme, par hypothèse, P ne s’annule pas, les conditions d'existence et d’unicité des intégrales ont lieu pour le système (2). Celui-ci détermine donc }' et x en fonction de x et de deux constantes d'intégration x et #, permettant de faire passer la courbe intégrale par un point initial arbitraire. Les équations finies des caractéristiques sont ainsi de la forme

y — 2(X, z, or AUS UCX, %, G}.

Mais, si on les résout par rapport aux constantes + et 5, les équations des caractéristiques ou les intégrales du système (2)

prennent la forme

o "2 Se AN es > Le à CCE &

(5) DÉRANRSE

237. Intégration de l’équation aux dérivées partielles. — Pour intégrer l'équation (x), il faut former une surface lieu de carctéristiques. Les caractéristiques dépendent de deux paramètres x, fetil v en a une double infinité. Pour former un Jieu géométrique de caractéristiques, il faut extraire de cette double infinité une famille à un seul paramètre, c’est-à-dire poser une relation entre les

deux paramètres a, $, par exemple (6) E(a, 8) = 0.

L’équation du lieu résulte de lélimination de 4, $ entre les trois équations (5) et (6). On voit donc qu’une surface quelconque lieu

de caractéristiques est représentée par l’équation (7) Eu) 0,

où la fonction F peut être choisie arbitrairement. L’équation (7) est donc l'intégrale générale de l'équation (à).

RÈGLE D'INTÉGRATION. — En résumé, pour intégrer l’équation

aux dérivées partielles (1), on pose le système (2) et on l’intègre

| - } ; À L 1 } à x à ! } 1 ) Nan = à ÉQUATION A TROIS VARIABLES. CARACTÉRISTIQUES 271

complètement. On obtient ainsi deux relations entre X, j, et deux constantes arbitraires x et $. On en déduit l’intégrale générale de (x) en éliminant x, 3 entre ces deux relations et une nouvelle relation E(@, 6) — 0 quisreste arbitraire. Si les’ intégrales dut système. (2) sont mises sous la forme u — à, v — f, l'intégrale générale de (1) Ste H 0) — "0.

238. Equation sans second membre. — Si R — 0, l’équation (t) se réduit à (A) FER QE Les équations des caractéristiques deviennent

PAS NS RE d’où HO 0° ;