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Les intégrales des équations (2) sont des courbes de l’espace, qui dépendent de deux paramètres arbitraires permettant de faire passer Pune d’elles par un point choisi à volonté. Les courbes ainsi définies portent le nom de caractéristiques et il v en a donc une double infinité. Les équations (2) sont les équations différentielles des caractéristiques de l’équation (1).

Une intégrale de léquation (1) est, par définition, une fonction

(3) Nr JG, ») qui satisfait identiquement à cette équation, c’est-à-dire telle que, si lon substitue dans l'équation cette valeur de 7 et celles de p et g qui s’en déduisent, équation (1) soit vérifiée pour toutes les valeurs des variables x, y. Au point de vue géométrique, l'équation (3) est celle

d’une surface, laquelle est dite une surface intégrale de l'équation (x).

234. Théorème I. — Si une surface intégrale (3) passe par un point (x,, vs, X), elle contient la caractéristique issue de ce point. En eflet, x étant la fonction de x, y définie par la formule (3), posons, entre x et 7, l'équation différentielle du premier ordre (4) dx dy dy Qi = = O so, é pi o LOUE Cette équation satisfait (P ne Ss’annulant pas) aux conditions d'existence et d’unicité de l'intégrale. Elle détermine y en fonction de X et, par suite, x en tenant compte de léquation (3); elle définit

donc une courbe tracée sur la surface et qui est complètement

déterminée par la condition de passer par le point initial (x,, 3, 4).

Je dis que cette courbe n’est autre que la caractéristique issue du même point. En eflet, le long de cette courbe, chacun des rapports (4) est encore égal à

pdx + qdy dx

DRE GO PERARX car la fonction : définie par (3) satisfait à l’équation (1). Donc la courbe considérée vérifie les équations (2), c’est-à-dire celles des caractéristiques ; elle se confond donc avec la caractéristique qui à

le même point initial (x,, y,, x).