HEC

239. Intégrale singulière. — Les intégrales que nous avons obtenues jusqu'ici et qui sont formées de caractéristiques, sont les seules possibles tant que l’une au moins des deux quantités P, Q ne

s’annule pas. Une autre intégrale devrait donc annuler identique-

ment P,Q et, par suite, aussi KR. S'il existe une intégrale semblable,

on lui donne le nom d’intégrale singulière. Par exemple, si P, Q et R admettent le facteur commun %, l'équation (r) admet x = 0

comme solution singulière.

Len tn me Ne CS OM en D COTTON ON Sr ER DT OU RE FOR SON D US OT TA RE ER RER : 'Eakn, ARE QE PTE ERRE

240. Problème de Cauchy. — Le problème de Cauchy consiste à déterminer la surface intégrale qui passe par une courbe donnée (C). Le problème est déterminé pourvu que la courbe (C) ne soit pas une caractéristique. La surface cherchée est le lieu des caractéristiques qui passent par la courbe (C).

Soient :X,, 1, «des! coordonnées! d'un pointhvarablendest

courbe (C) définie par les équations

il, Vos tn) Et Û, FX Vos to).

Les caractéristiques qui s'appuient sur cette courbe ont pour équations u(X, Ys +) is 4(80 Vos us V(X, Y; +) A v(X,, d'os Rae

L'équation de la surface intégrale résulte de l’élimination de

Xi Jo & entre les quatre équations précédentes.

241. Applications diverses. — Nous allons appliquer les considérations qui précèdent à lintégration des équations des diverses surfaces que nous avons formées au paragraphe précédent. On verra que les caractéristiques sont les génératrices de ces surfaces est que la directrice est la courbe (C) par laquelle il faut faire passer ces génératrices pour résoudre le problème de Cauchy.

1° L’équation aux dérivées partielles des surfaces cylindriques

est (n° 229)

Ib PUDIEEECTR Celles des caractéristiques sont x dy dx | Vice EE 10 — = — d’où «l b ph y — bb = $

L'intégrale générale est y — bx — F(x — ax).

Le plan dy — bx — C est compris dans l'équation précédente, 5 2 . ? r 3% E 22 A à \ mais n'est pas une intégrale de l'équation, parce qu'il est parallèle à nà

l’açe des ? et que ? a disparu de l'équation.

2° L’équation aux dérivées partielles des surfaces coniques est