ÉQUATIONS LINÉAIRES ET HOMOGÈNES

Par conséquent, l'équation (r) transformée sera

AO E q/ d ON A) LS A! À ARE X() = X(71) Sd KO) gp + 2 + XCON) 0.

Pour calculer X(y), on effectue l’opération X sur y exprimée au ovensdesmeunmencalenl fait on remplhcetlésivariables ht "par

leurs expressions en y.

250. Réduction de l’équation linéaire. — S: l’on connaît k < n intégrales distincles de l'équation linéaire et homogène à n variables indépendantes, l'intévration se ramène à celle d’une équation de même nature à n — k variables seulemeni. |

Soient 11, J»,... JK les intégrales connues. Ajoutons à ces fonctions % — À nouvelles variables 7,:,,... 3, formant avec les précé-

dentes un système indépendant. L’équation transformée se réduit à

ù ur OS X(3% 11) dv.

OC Ex TU) . 2) Zn Cette équation ne contient plus: de dérivées de 7, 70,4. 9, On peut, par conséquent, y considérer ces variables comme des paramètres arbitraires et l’équation elle-même comme une équation à n — À variables indépendantes.

Mais il est utile de préciser un choix des variables complémen-

taires. Le déterminant fonctionnel dé j,, 35,... J£ par rapport à :

k variables x ne s’annule pas pour un choix convenable de ces variables. Supposons qu'il ne s’annule pas par rapport à X,, X3,... A4. Alors on peut prendre x,:,,... X, pour variables complémentaires,

car le déterminant

ae Vh e4e dan EE Y A)

ÉMIS SPP ON RE) ne s’annule pas. L’équation transformée est alors ox XX D CN) ee de ANA Re €) ( | KT 1) ox à) ( n. ox, et elle se réduit à ox OA Xx+1 —— Fan ce n SA ec 0, OX k+1 Où n

282 CHAPITRE Ix. ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

Dans ‘les/coelicients (X} 1, leshyarablest "x Sonteeeulse ment remplacées par leurs expressions en fonction des nouvelles variables y, menée x On Test ain st TAMENs ANR ICONE

système

AXkty 2 xt __ dXn ES X

$ 5. Théorie du multiplicateur de Jacobi

251. Définition. — Représentons encore par X(x:) le prenner membre de l’équation (1) du paragraphe précédent. Jacobi appelle multiplicateur de l'équation X(:) = 9, ou multiplicateur de X(4), un factetr. M fonction deux xs, xt teltatene" prod puisse se mettre sous la forme d’un déterminant fonctionnel, c’està-dire tel que l’on ait identiquement, quels que soient les #,

11 TE AE 5) MX(+) — Ésnre G) d(Xy, Koss. Xp)”

les 2 — 1 fonctions u des variables x étant connues.

252. Théorème I. — Toule équation linéaire et homogène X(x) = 0 admet un multiplicateur M.

En effet, supposons X, difiérent de Ütetisoient 4/70. système dé #7 — 1 intégrales distinctes de l’équation X(x) = 0.

Cônsidérons le système de # identités, linéaires en X,, X,,...X,

HU PO k Ce" ù À, FT xs ARR ME niDies a MIO: Ou; MONO

Al SE RS TN

(ENT, 2 a URL)

dont la première sert de définition à X(x) et les autres expriment que les # sont des intéorales de lPéquation (1). Multiplions-les respectivement par les mineurs à,, à,... relatifs aux éléments de la première colonne du déterminant du système, qui n’est autre que le déterminant fonctionnel | OT tue NT) ARS PAREN NTE

et ajoutons. Il vient identiquement

TANT T CEE

D'ailleurs X, n'est pas nul par hypothèse; le déterminant fonc-

x, HG NTPESNU NES LE X().

tionnel ne peut être identiquement nul non plus, car les # sont indépendants. On voit donc que à, n’est pas nul et que à, : X,, qui ne contient pas ?, est un multiplicateur M de X(X).