ÉQUATIONS LINÉAIRES ET HOMOGÈNES

D'autre part, on appelle intégrale ou invarian! des équations (2), une fonction qui demeure constante én vertu des équations (2).

Les équations (5) obtenues par a du système (2) nous font déjà connaître n — ï intégrales u,,u9,... u,-, de ces équations et ces intégrales sont distinctes, car on peut égaler à autant de constantes arbitraires ; d’ailleurs le déterminant

A(Uy, Hg... Un—4)

(6) | de ACTE 4° Xn)

ne peut s’annuler, puisque son inverse, le déterminant (4), conserve toujours une valeur finie.

Avec ces définitions, on a le théorème suivant :

THÉORÈME [. — L’équation (1) et le système (2) adimetient les mêmes intégrales.

Enveñet, si\+ est une intégrale (de (1),/+ véritie Péquation. (x). ét alors on a, en vertu des équations (2),

ÔX Ôx | 2 A oi ne AR Prue diee U: d’où 0 -MCOTISt

Donc x est une intéorale de (2).

Réciproquement, si # est une intégrale du système (2), on a, en

vertu de (2), par hypothèse, Ou UE AT O0 M OR A du de € hs & AX3 + ….

donc, en éliminant les dx par (2),

Ou + D ct se —= À: x, 0x) CécHestune rolationentre x. 0 ctelleestidentique, car

on peut fixer la valeur constante io u en attribuant aux X un système de valeurs initiales arbitraires et il ne peut y avoir, par conséquent, aucune relation entre les x. Donc # est une intégrale de (1).

THÉORÈME I. — Z’équarion (1) ou le système (2) admettent les n — 1 intégrales distincles u,, u3,... 1, , el ouf autre intégrale u,

est une fonction des précédentes.

En effet, #,, u,,... u, étant des intégrales de l'équation (#), on a

les 7 identités

Ô Ui, ox,

du k ÔX

Ou, +. +X, de "0 MCE Re SA

X; + Xe

On en tire, par l'élimination des coeflicients X (non tous nuls), l’identité

d(u,, Hg... Un) are () dCxy, ACTES Xn)

Mais le déterminant (6) d'ordre 7 — 1 ne s’annuke pas; donc

(n°/245);0n002 1 PL NN RE

Réciproquement, toute fonction dérivable de #,, 49, 4-4, demeurant constante avec ces 7 — 1 fonctions, est une intégrale de (1) ou de (2).

On voit donc que lintégration de l'équation (1) revient bien à celle du système (2). L'intégration complète du système (2) fait connaître les #7 — 1 intégrales distinctes ; et l’intégrale générale x de

équation (1) est une fonction (dérivable) arbitraire des précé-

dentes tt = o(u,, 0, Ha):

Quand il n’y a que deux variables indépendantes x, et x,, on retrouve la méthode d’intégration exposée plus haut. Les équations (2) se réduisent à une seule, qui est léquation différentielle

des projections des caractéristiques sur le plan x, x.

249. Changement des variables indépendantes. — Prenons 7 nouvelles variables indépendantes 7,, 32,... 3, à la place de Xy3 Ko. Xn. Ces nouvelles/variables serontides loncans/tonnees

de X,, X:,... X, telles que le déterminant fonctionnel

ne s’annule pas. On a, par la règle de dérivation des fonctions

composées

D OVINO 0)» 0 OYn Ô

ER CC TPE PCT

aa D Ah