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nm: x .…. E —— , :%

0x, ÔX | OX; È Ê

X(X) est un déterminant fonctionnel. $

En effet, soit M le multiplicateur à, : X, de X(x) obtenu par la 1

démonstration du théorème T; je +) sera le déterminant fonctionnel : È

AR OS RE e | pt

(2) MX (re Hate nes ) AN.

O(X;, No Xa,-.. À see) QU:

considéré dans cette même démonstration; et l’on aura, en vertu dE

du théorème II, 1 #0 O(MX,) a O(MX; ) à aù AMEN) ET 0 k

ox, EE EN ape 5

Mais cette identité se réduit, en vertu de (x), à la relation E

oM oM oM | Et

X Xs —— +... + X EUX (NL) TEeQU nn

Hoi " 0x, EN OX A Que pe

Donc, M étant une intégrale de X(:) = 0, on peut poser

CU; Ua... Un). v

Déterminons, par une quadrature, une fonction U;,.,, de #,, #9,

U,-, qui soit une intégrale de léquation

ot LT I |

——— — FAR PA CRIER AUS EST Oui, M DCR OA A te

cette équation peut encore s’écrire, en considérant ? comme une

variable indépendante des w,

LE CCR A Han MEURT

M AR PA PCR Ra

et la relation (2) devient ainsi, par les propriétés des jacobiens,

ie RU over OT RER “ue der, Ujs.ee Uno; Un) dx, À Co Nyse Xx)

He HAUT IMIS DOME Un—4) d(x, aitee Xn- 1 Xn)

L 148 NAT to Es EE

Donc X(X) est un déterminant fonctionnel.

Les théorèmes II et III conduisent à la conclusion suivante : Les

multiplicateurs de X(x) — 0 sont les intégrales de l’équation ox, re 0x; D OX A Pi Ve

255. Théorème V. — S: l'on connaît un multiplicateur M de X(x) — O0, on obtient tous les autres en multipliant M par l'intégrale PÉRCRAIEMROELN (2) 20:

En effet, si l’on substitue M3 à M dans l'équation précédente, qui

est celle des multiplicateurs, il vient, pour déterminer :,

EL RE PA or AL EE

et, le premier crochet étant nul, cette équation se réduit à X(x) = 0.

256. Addition d’une nouvelle variable indépendante. — Souvent, pour plus de symétrie, on remplace le système des équations (1) et (2) par le système correspondant, contenant une varia-

ble { en plus, que voici :

(D) AE X(x) = 0, lo 0 Der

(IT) Hide x. es X, Se rer

n L’équation (1) se réduit à (1) pour < indépendant de /; les inté-

orales #,,4,,... u,, de (1) sont donc les 7 — 1 intégrales distinctes du nouveau système qui sont indépendantes de / et il n’y en a pas davantage. Pour achever lintégration, il faut donc trouver une dernière intégrale contenant £. Celle détermination w’exige qu'une quadralure.

En effet, considérons le système (II); on en tire