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th = “|

L'intégration se fait en remplaçant dans X, les variables x,

X3,.. X, par leurs valeurs en fonction de x, fournies par l'intégration

Æ Cu … RSS 4 VUS 2? SR LL 1 L ù L ER, LT FRS LA È ES ju « 14 pu NE TN ER : ; f ROSES 4 Ar

5$6 CHAPITRE IX. ÉQUATIONS LINÉAIÏRES AUXx DEÉRIVÉES PARTIÉLLES

du système (2), c’est-à-dire tirées du système intégral #) =: G = 1, 2.1) Puis lintésrationtiaite Foteremplacentes

constantes +; par leurs valeurs en X,,... X,, ce qui donne DT Ce) La

On obtient ainsi la dernière intégrale cherchée #, — {. La détermination de #,, n'exige, comme on le voit, qu’une quadrature quand Us Ua Ur SOIMICONNUS:

THÉORÈME. — Quand on a calculé u,, on connaît un multiplicateur de X(%) qui a la forme d’un déterminant fonclionnel, à savoir

AUX d(us, Ua... un) à Hs Noyeee Xh |

En effet, formons le multiplicateur M de l'équation (1) par la méthode indiquée dans la démonstration du théorème I (n° 252), mais en faisant jouer maintenant à / le rôle de #,. Ainsi nous devons

remplacer X, par l’unité, ensuite 3, par le déterminant

(HS RE) M VS) CÉSAR CEE (OA PSE

et nous trouvons le multiplicateur M, indépendant de },

RTC CRAN ES RAT an ee

lequel vérifie identité

X ” LRU HO LE ES URL) an XX te Mr - An fy? 14 + dt, À}, ge. Un —40 4h) Pour revenir à léquation (1), supposons ? indépendant de 4. Alors, { n'entrant ni dans ? ni dans #, tous les éléments de la pre-

mière colonne de ce dernier déterminant sont nuls, sauf le dernier

qui est — 1. La relation se réduit à NA ie 4 4 HyAns res LEA dx, EE Use. RATE) + ds, Los Lysee. 10) 0ie dx, x 2» Vypsee Vn

Donc M est un multiplicateur de X(x). On remarquera que c’est, au signe près, le même que celui que nous avons déterminé pour

établir le théorème I (n° 252).

257. Changement de variables. — Si l’on fait un changement de variables remplaçant X,,x,,... x, par y}, v2,... y, el qu’on connaisse un multiplicateur M de X(x) =: 0, on peut en déduire un multiplicateur M° de l'équation transformée en y, transformée que nous représentons par Y(x) = 0.

ÉnRETeR En EU M Et ENT exprimées anlaide des tou

des y, sont respectivement les intégrales des équations :

# -+X()=0, ou e + Y(:) = 0.

Les multiplicateurs indépendants de / des deux équations ont

respectivement pour expressions générales (n°° 256 et 255) :

SAC mn. ne, N'OLCTEEEL u,)

OA MATE) ÉTIENNE dCi, « Vn) % D

Ce sont aussi les expressions générales des multiplicateurs de X(:) et Y(x). Considérons ceux qui correspondent à la même fonction +; on aura, en divisant membre à membre, et par les propriétés des déterminants fonctionnels,

M’ ta M d(x, Do | 54 ACTE ass HR

Donc on peut calculer M” quand on connait M.

258. Principe du dernier multiplicateur de Jacobi. — S; l'on connaît n — 2 intégrales distinctes de X(:) — 0 et un mulriplicaleur, l’intéoration de cette équaiion se ramène à des quadralures.

En effet, si l’on prend comme nouvelles variables les 7 — 2 intégrales connues #,, 42,... 4, et deux variables indépendantes de

plus 7, et y, l'équation aux dérivées partielles se réduit à

OX OX ra y, + Y, — = 0.