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Ces termes ne dépendent que des variations aux limites.

275. Condition nécessaire de maximé ou de minimé d’une intégrale définie. — L'objet principal du calcul des variations est de déterminer les maximés et les minimés d’intégrales définies dont les éléments dépendent d’une ou de plusieurs fonctions inconnues.

Dans le cas le plus général, on considère l'intégrale 2: 0 7 AD: R I 3 SE A AE ee ES A cr

La fonction F est donnée, mais les fonctions y et 7 de x sont inconnues. " aux limites &,, #,, et aux valeurs correspondantes dev ag, y F Iles peuvent être soit données, soit complètement ARR soit encore liées par une ou plusieurs équations. Mais . on n'impose aucune relation de condition entre les variables elles- . mêmes et leurs valeurs aux limites. On demande de déterminer les fonctions y et z et ce qui reste d’indéterminé dans les quantités aux limites de manière que l'intégrale I soit maximée ou minimée.

La recherche des conditions nécessaires et sufhisantes à cet effet est un problème ardu, dans lequel nous ne voulons pas entrer. Mais le théorème suivant, qui ne donne qu’une condition nécessaire, sufht à la détermination pratique du maximé ou du minimé s'il CAS

THÉORÈME. — Le sysième des fonctions y, z,... et des valeurs aux

limites qui extrême lirtégrale doit annuler sa variation dl pour tout

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( - te 7, éd A Mat 4 OP à D 7. ls 1 CR D. lens LR RE NE SU TELE LAS MOTS RE OP OR ENS m2,

système de variations de x; y, z,... el des quantités aux limites compatibles avec les conditions imposées.

DOleNLIEN effet, Vire, les fonctionsietie va lens limites qui fournissent le maximé ou le minimé cherché. Altérons infiniment peu ces fonctions et ces valeurs en respectant les conditions imposées, et cela au moyen de la variation d’un ou de plusieufs paramètres a, æ,,...; l'intégrale, considérée comme fonction de ces paramètres, doit être extrémée. Donc (abstraction faite des cas de discontinuüité, que nous écartons) sa différentielle totale

0 est nulle.

276. Décomposition de la condition Ô[ — O0. — PREMIER cas. — Considérons d’abord lintégrale, qui ne dépend que d’une

seule fonction inconnue 7,

il —=\ FT 4 0 0

Sa variation, fournie par la formule (7), est de la forme

à æ1 (9) 0 = À A B w dx,

Fb 4)

où À est une fonction linéaire et homogène des variations des quan-

k Cu 4 IVe tités aux limites et où l’on a B = Y — LR

Comme il n'y a pas de relation imposée entre les variables et leurs valeurs aux limites, l'équation Ô[ — 0 se décompose en deux autres. En effet, on peut d’abord laisser fixes les quantités aux

limites, alors À est nul et il vient

SI = Re)

. as ni . . ni Mais w — Ôy — y'ôx est arbitraire avec Ôy et d% pour chacune des valeurs de x entre x, et x,. La relation précédente ne peut donc

subsister quel que soit w que si l’on a, pour chaque valeur de x,

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