EXTRÉMÉS DES INTÉGRALES DÉFINIES
L'équation B — 0 est une équation différentielle, qui porte le nom d’équalion principale. L'intégration de cette équation détermine la fonction inconnue y, mais en introduisant des constantes arbitraires. Les courbes ainsi définies portent le nom d’extrémales.
Maintenant, B étant nul, Péquation 91 — 0 se réduit à
Î At | For - Y'a | ES
L’équation À — 0 est l'équation aux limites. Elle sert, comime nous le montrerons dans les exemples traités plus loin, à déterminer les constantes qui figurent dans l’équation des extrémales.
DEUXIÈME cas. — Quand F renferme deux fonctions inconnues 4, x et leurs dérivées premières, la variation de l’intégrale
Il = PL Ar) dE æ0
La
est donnée par la formule (8); ôI est donc de la forme
| (10) = A +\ (Bo + Cr) dr,
en désignant par À l’ensemble des termes aux limites et en posant
Si on laisse d’abord fixes les quantités aux limites, on a
| Ua LC) 4% =.0:
Or ceci exige que Bo + Cn soit nul quel que soit #, car, dans le cas contraire, on pourrait, en changeant au besoin les signes de toutes les variations (ce qui est permis car elles ne sont liées que par des relations linéaires et homogènes) rendre Bo + Cx partout positif, et l'intégrale ne serait pas nulle.
L’équation d[ — 0 se décompose donc en deux autres, comme dans le premier cas : léqualion principale,
Bow + Cr = 0,
308 CHAPITRE x. NOTIONS SUR LE CALCUL DÉS VARIATIONS
dont lintégration donne les ex/rémales ; et l’équalion aux limites À — O, qui sert encore à déterminer les constantes d'intégration. Mais, en ce qui concerne l'équation principale, il y a deux hypothèses à examiner :
* Si l’on ne donne aucune relation entre «, y et z, les quantités w — Ôy — y'or et n — Ô7 — 7'Ôx sont, avec dv, Ôy et Ôg, des indéterminées indépendantes et l'équation principale se décompose en deux autres : B.æ= 0, C=0/Cesont deux équations /dittérens tielles simultanées dont l'intégration détermine la forme des fonctions inconnues yet ? ou la famille des extrémales. | ° Si lon donne une relation ®(x, y, 2) = 0, les variations
seront liées par la condition
Ô Sa OP k db « TON De Ôx DNS
Mais en dérivant totalement & — 0 par rapport à #, il vient
Ô Ô D r JP
et, en soustrayant de la précédente cette dernière relation multipliée
par 0x, on trouve
Oœs s OA 8 O7) + À Go Donc il existe, pa ce cas, une relation entre w et x et l’on ne
peut plus annuler séparément les deux termes B et € de l’équation
principale. Celle-ci donne, par l'élimination de « et , la relation
qui, jointe à æ(x, y, z) — 0, déterminera la forme des fonctions inconnues y et ?, c’est-à-dire les extrémales.
REMARQUE. — Nous avons supposé que la fonction F sous le signe d’intrégation ne renfermait que des dérivées premières, ce qui simplifie les expressions de A, B et C, mais la discussion
s'étend d'elle-même au cas où il y aurait des dérivées plus élevées.
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