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Cas GÉNÉRAL. — Les autres cas se ramènent au précédent à l’aide d’une fonction auxiliaire f, égale à f dans le domaine D et à zéro en dehors. L'intégrale de f dans D revient à celle de /, dans tout le plan, laquelle se réduit par la formule précédente. En négligeant les intervalles où f, est nulle, cette formule de réduction revient à celle relative à f.
REMARQUE. — Si f change de signe dans le domaine D, le procédé le plus simple pour légitimer la réduction sera généralement de partager le domaine D en plusieurs autres où f n’a qu’un seul signe
et d'effectuer la réduction dans chacun d’eux.
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CALCUL DES INTÉGRALES DOUBLES 23 17. Interversion des intégrations. — Sif ne change pas de
signe, on a, les limites étant finies ou infinies mais constantes,
dx \ far =\ 4 À NE que
CET) cel
pourvu que les intégrales intérieures soient des fonctions continues la première de x et la seconde de y, sauf en des points isolés.
En effet, les déux membres représentent la même intégrale double, car on peut intervertir les variables x et y dans les formules
du n° précédent.
18. Transformation des intégrales doubles généralisées. — Soient (Q un domaine, limité ou non, dans le plan uv, o(#, v) et Y(u, v) deux fonctions continues ainsi que leurs FI partielles, dont le jacobien J ne changé pas de signe dans Q. On ne stipule
rien sur la frontière. Supposons que les formules :
X — o(u, v) DUT).
fassent correspondre uniformément les points intérieurs à Q aux points iniérieurs à une aire D, limitée ou non, dans le plan xy.
On aura
À fe x à =\\. LI FC, Ÿ) du do
En effet, représentons par Q° une portion limitée de Q, dans laquelle f est continue, et qui tend vers Q ; le domaine correspondant D’ sera aussi limité et tendra vers D. L’équation précédente a lieu sans difficulté quand on y accentue D et Q (t. I, n° 285) ; elle subsiste donc à la limite, et c’est précisément ce qu’on écrit en supprimant les accents.
Le sens de l’équation précédente est le même que pour la formule de transformation des intégrales simples (n° 12). Les deux membres sont soit égaux, soit tous deux indéterminés, mais alors
avec les mêmes limites d’indétermination.
( 2. Intégration et dérivation des intégrales définies. Convergence uniforme. Applications
19. Intégration par rapport à un paramètre. — Soit f(x, x) une fonction continue des deux variables x et x dans un domaine rectangulaire R, limité par les valeurs 4 et b de x et par les valeurs 4, et «, de x; l'intégrale
4) =\ fG, 9 éx
& est une fonction continue de x dans l'intervalle (x, 4,). On peut se proposer d'intégrer ou de dériver cette fonction. Si l’on intègre w(x), on tombe sur une intégrale double
a 6472 rb \ (2) da =\ dal CG, a) dx. C2) ACT (4
LE
On peut utiliser pour la calculer toutes les méthodes de transformation étudiées dans le premier volume, mais la plus employée est la règle d'intégration sous le signe qui consiste à intervertir les intégrations par rapport à X et . Toutetois il ne faut pas oublier que cette règle n’est établie que pour les intégrales proprement dites. Nous verrons tout à l'heure qu’elle ne s’étend aux intégrales géné-
ralisées que sous des conditions particulières.
