CT

où F, est homogène du premier degré en dx, dy. Soient respectivement X, Y, X’, Y” les dérivées partielles de F, par rapport à &, y, d&, dy; il viendra

al

| ol à ÔF, = (Xôx Æ Voy + X'adx + Y'dôy).

0 0 Par des intégrations par parties, on fait disparaître sous le signe /

les différentielles des variations, ce qui conduit à un résultat de

la forme

(HV ROLE ANSE

P = X — 4X Pôx + Qùy

en désignant par À la partie tout intégrée qui ne dépend que des variations aux limites, par P et Q des coellicients indépendants des

variations. | Etudions maintenant la condition dl == 0. L’équation principale sera Pôx + Qôy — O ét l'équation aux limites À — 0. Maïs, comme Ôx et dy sont des indéterminées indépendantes, l'équation principale se décompose en deux autres P = 0 et Q = 0. Il y a donc surabondance d'équations pour déterminer la forme de la fonction inconnue et l’on prévoit qu’elles rentrent l’une dans l’autre.

Vérifions-le.

On à identiquement, en vertu du théorème d’Euler sur les fonctions homogènes, F, — X’ax — Y'dy = 0, d'où

AE, — X'dx — Y'dy) = (X — 4X") dx + (Y — dY°) dy =

PAR AQ dy 0:

et, par conséquent, on a aussi identiquement Pdx = — Q dy.

On peut arriver autrement au même résultat. Pour cela, compa-

rons les deux expressions (9) et (xr) de ôI, elles doivent rentrer l’une dans l’autre après qu’on a remplacé dans (9) w par y — y'àx. Donc, ôx et dy étant des indéterminées, leurs coefficients sous les

signes / sont les mêmes de part et d’autre, il vient donc Pie Dur ER Te OR r

Ainsi les deux équations P = 0 ét Q.=— 0\reviennent lureser l’autre à l’équation B — 0 du n° précédent et ne nous apprennent rien de plus. Il sufhra d'intégrer l’une d'elles choisie à volonté.

Voici encore une remarque souvent utile.

Supposons qu'on fasse varier J'seul, x et les quantités aux limites étant fixes (indépendantes des paramètres); toutes les variations

autres que dy étant nulles, la formule (11) se réduit à al

ôl —\ Qùôy

Ce 0.

et la condition dl — 0 donne Q — 0. De même, si l’on ne faisait varier que « seul, y et les quantités aux limites restant fixes, la condition à[ = 0 conduirait à Péquation P — 0. On voit donc que si l’on se borne à chercher l’équation principale, on l’obtiendra en ne donnant de variation qu’à y ou bien qu’à æ à son choix et en annulant toutes les variations aux limites. Ce calcul est donc tout indiqué si lon se propose seulement de déterminer les équations des extrémales.

DEUXIÈME CAS : deux fonctions inconnues. — Considérons l'intégrale

Pa] l = F(æ, 7, y, & t) dx.