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4. Caushiques. — La caustique d’une courbe (C) pour un point lumineux À est l’enveloppe des rayons émanés de À et réfléchis sur (C). Montrer qu’elle est la développée de la podaire, par rapport au même point, de la courbe (C’) semblable à (C) obtenue en prolongeant d’une longueur égale chaque rayon vecteur AP mené du point A la courbe (C). En déduire la relation
MSI 2 HAE Récoëu r étant le rayon incident AP, / le rayon réfléchi terminé au point où il touche son enveloppe, R le rayon de courbure de {C), : l’angle d’incive ReCOS dence. En particulier, si les rayons sont paralleles, / — RSR a TS CAUOLES male à la caustique passe par le milieu du rayon de courbure de (C).
R. On montre que le rayon réfléchi est normal à la podaire de (C') en observant que la normale à la podaire d’une courbe passe par le milieu du rayon vecteur de cette courbe. On applique alors la relation qui lie les rayons de courbure d’une courbe et de sa podaire (t. I, p. 260).
s. Montrer que la caustique d’un cercle par rapport à un point de la circonférence est une cardioide (t. I, p. 303, ex. 6 et 7); celle par rapport à un point à l’infint (rayons parallèles) une épicycloïde à deux rebroussements (tp 259):
5 Enveloppes des surfaces et des courbes de l’espace
344. Enveloppe d’une famille de surfaces à un paramètre. — La théorie est analogue à celle des enveloppes de courbes planes, ce qui nous permet d’abréger. Soit une famille de surfaces
définies, en axes quelconques, par l'équation (1) Ha ae 0
où F est une fonction continue et dérivable.
On appelle caractéristique de la surface (4) le lieu des points-carac-
téristiques de cette surface, c’est-à-dire des points ordinaires dont la
distance à la surface infiniment voisine (x + da) est d’ordre supé-
rieur à dz. En général, et nous supposerons au’il' en est ainsi, ce © 2 ]
lieu est une ligne définie par les deux équations (2) Jr 0, Fu —0:
Si la surface (x + da) coupe la surface (x), la limite de la ligne d’intersection est une caractéristique; mais il peut arriver, par exception, qu'une caractéristique ne soit pas une limite d’intersection. On pourrait faire à ce sujet une étude analogue à celle que nous avons faite pour les courbes planes. Nous n’entreprendrons pas cette étude ici. | ;
L'enveloppe de la famille de surfaces est le lieu des caractéristiques. Chaque surface de la famille prend, par opposition, le nom d’enveloppée.
On remarque que les coordonnées des points singuliers (où FF, = F", = 0) satisfont aussi aux équations (2) et l’on est conduit, comme pour les courbes planes, à la règle suivante
L'équation de l'enveloppe d’une famille de surfaces F = 0 s'obtient en éliminant le paramètre x entre l'équation F = 0 et sa dérivée [par rapport au paramètre) Fa — O. Mais on obtient, en même temps, le lieu des points singuliers s’il y en à.
La propriété essentielle de lenveloppe s'exprime encore par le théorème suivant :
Chaque enveloppée touche son enveloppe tout le long de la caractérislique correspondante.
Le plan tangent à l’enveloppée F — 0 en un point ordinaire, est, en effet,
(E EE x) Ra a Q 7 9) Ee A ( ES t) Fe = 0.
On peut aussi considérer l’équation F — 0 comme celle de
l’enveloppe, à condition d’y remplacer « par sa valeur en X, y, x
tirée de Fx — 0. Donc les coefficients du plan tangent à l'enveloppe
, “Üa ed sont F°, + F'a FT Mais F’x s’annule sur la caractéristique, de
sorte que, sur elle, ces coefhcients ont les mêmes valeurs pour l'enveloppe et l’enveloppée. Donc l’enveloppe et l’enveloppée ont
même plan tangent le long de la caractéristique commune.
Réciproquement, si lon cherche une surface (E) qui touche successivement chacune des surfaces enveloppées suivant une courbe, on retrouve l'enveloppe. |
En effet, l'équation F(x, 7, z, «) — 0 est celle d’une enveloppée si « est constant. On définit la ligne de contact (C) en y joignant équation 4(x, y, z, «) — 0 d’une seconde surface passant par cette ligne. Une surface tangente, lieu de la ligne (C), s’obtient en remplaçant dans F — 0, à par sa valeur tirée de 9 — 0. Plaçonsnous en un point de la ligne (C) et différentions l'équation F = 0 pour un déplacement quelconque sur la surface tangente (x variable) ; il vient
F', dx + F',dy + F7, d3 + F'ada = 0.
Mais cette relation se réduit à F4 — 0, parce que le déplacement dX, dy, dz est aussi tangent à l’enveloppée et annule la somme des trois premiers termes. Donc la ligne de contact (C) est une
caractéristique.
345. Enveloppe d’une famille de surfaces à deux paramètres. — On peut aussi considérer une famille doublement
infinie de surfaces, c’est-à-dire dépendant de deux paramètres à et 6,
(1) Der HAE A BR AU:
Si l’on pose, entre les deux paramètres, une relation
(2) | 6 — 4x), on extrait de la famille précédente une famille simplement infinie dont on peut chercher l’enveloppe. La ligne caractéristique sur la surface s'obtient en joignant à l’équation (1) la relation dé
dax
as
(3) Fa + F'p
En éliminant & et 5 entre ces trois équations, on obtient une enveloppe partielle qui touche une infinité simple des surfaces de la famille et qui dépend du choix de la relation (2).
Mais il y a sur chaque surface (1) des points qui sont caractéristiques quelle que soit la relation (2). Ce sont ceux qui satisfont
simultanément aux deux relations
(4) Era = 0, F°6 ss 0,
# “+ è a ste 7 j Pis : ur | à $ AtE ) I TES
ENT. AR (D OR ET PAC APCE £ er RS MARNE RTL RTL Ne NE RE ET Pa EN 7 RE RUE TS ENTRE CE ab) CE LA .
car alors la relation (3) est satisfaite quel que soit d£ : ds. En éliminant + et & entre (1) et (4) on obtient une surface qui est le lieu de ces points caractéristiques et que l’on appelle l'enveloppe générale ou tout simplement l’enve/oppe de la famille (1).
On montre, comme précédemment, que chaque enveloppée touche l'enveloppe au point-caractéristique correspondant.
Réciproquement, si l’on cherche une surface (E) qui touche chacune des surfaces de la famille en un point, on retrouve l'enveloppe.
En effet, les coordonnées du point où (E) touche l’enveloppée F — O0 sont des fonctions de +, £ qui vériñient cette équation. Différentions totalement cette équation pour un déplacement sur l'enveloppe (a, & variables); il vient
F7, dx ER ET Ed Po de ent ee 0
Au point de contact avec l’enveloppée (x, £), les trois premiers termes se détruisent, parce que le déplacement est tangent à l’enveloppée. Il reste donc
F'ada + Fpd8 == 0:
Mais, comme da et dB sont arbitraires, cette équation entraîne
Fa = 0, F8 — 0 séparément. Le point de contact est un point-
caractéristique et la surface tangente se confond avec l’enveloppe. <
346. Enveloppe d’une famille de courbes dans l’espace. — Considérons une famille de courbes de l’espace dépendant d’un pararètre arbitraire x et définies par les deux équations
(L) SRE RU) TE BC Dose:
Si on appelle encore point-caractéristique de la courbe (x) un c point ordinaire tel que sa distance à la courbe infiniment voisine (x + da) soit un infiniment petit d'ordre supérieur à dz, on voit, comme dans le cas des courbes planes, que ses coordonnées doivent vérifier les deux équations
(2) > Er 0, on =),
En général, les équations (1) et (2) sont incompatibles, sauf pour des valeurs exceptionnelles de &, et il n’y a pas de points-caracté-
ristiques. Mais, s’il existe des points-caractéristiques dont la position
varie d’une manière continue avec «, autrement dit, si les équations (x) et (2) admettent des solutions communes x, y, x fonctions continues de z, le lieu de ces points s'appelle l’enveloppe de la famille de courbes.
D’après cela, une famille de courbes de l’espace n’admet généralement pas d’enveloppe. On voit, en même temps, que la condition nécessaire et suffisante pour qu'il y ait une enveloppe, est que deux courbes infiniment voisines se rencontrent au premier ordre près (ou en négligeant les termes d’ordre supérieur à da).
THÉORÈME. — Si une famille de courbes admet une enveloppe, chaque enveloppée touche l'enveloppe au point-caractéristique correspondant. :
La démonstration se fait comme pour les courbes planes.
Réciproquement, s’il exisle une courbe (E) qui touche, en chacun de ses points, une des courbes de la famille, celle courbe n'est autre que l'enveloppe.
En effet, les coordonnées x, y, x des points M de la courbe (E) seront des fonctions de x, assujetties à vérifier les équations (3). Si l’on dérive totalement ces équations par rapport à «, il vient (les accents désignant les dérivées par rapport à &),
HEMle OF 0
DRE AE APE Er À Vote EME ere D” — UV, To dy - nn ’ FE mt ne
Mais les termes en x’, y’, z se détruisent, parce que la tangente à la courbe (E) est la même qu’à l’enveloppée par hypothèse. Ces équations se réduisent donc aux deux équations F4 = 0, w'x — 0,
qui déterminent lenveloppe.
347. Enveloppe de caractéristiques (Arête de rebroussement). — Une classe importante de courbes ayant une enveloppe est celle des caractéristiques d’une famille de surfaces à un para- Me (NX ar, à) 10 LEs quatre équations (1) et (2)! dun°
précédent se réduisent effectivement dans ce cas à trois seulement
— 0, Fa = 0, FFE D!
Les valeurs de x, y, ?, généralement fonctions de «, que l’on en tire, définissent une courbe qui touche toutes les caractéristiques et
qu'on appelle l’aréle de rebroussement (*) de la surface enveloppe.
348. Surface enveloppe (ou focale) d’une congruence de courbes. — On donne le nom de congruence à un ensemble de courbes de Pespace dépendant de deux paramètres arbitraires « et £
et définies par deux équations :
(:) Ha 7, Rs % BYE En 0, (x, Y; Rs % Di ee O0.
Considérons une courbe particulière [x, £]. On peut concevoir qu’elle fasse partie d’une famille à un paramètre en posant une relation 8 — »(x), compatible avec les paramètres particuliers de la courbe. On peut, en général, choisir cette dépendance de façon à former une famille à un paramètre ayant une enveloppe, c’est-àdire de manière qu’il y ait sur la courbe [x, &] des points-caractéristiques. Les coordonnées x, y, z d’un point-caractéristique doivent satisfaire, en eflet, aux équations
0F ÔF dB Ô D Oœ dB (2) FES PE TL
dx 08 dx vu
da
Si l’on élimine x, y, x entre les équations (1) et (2), on obtient
une équation différentielle du premier ordre entre « et £ servant à
déterminer la relation 8 — +(x) pour laquelle il y a une enveloppe.
: entre les deux équations (2), on a, (1462
pour déterminer les points-caractéristiques correspondants sur la
D'autre part, en éliminant
courbe [«, 8|, les trois équations :
Ph SA 060 SUP. 0 DS ON AE CE 08 0 dz CA
Nous supposerons que ces trois équations soient compatibles et déterminent les coordonnées d’un ou de plusieurs points en fonc-
tion continue de x, ÿ. Ces points s’appellent les points focaux.
(*) Parce que les points de cette arête sont généralement des points de rebroussement pour les sections de l’enveloppe par un plan.
RL
: . PT, ” f + sé
Généralement, et nous supposerons que ce soit le cas, le lieu de ces points est une surface dE l’on appelle l'enveloppe ou la surface focale de la congruence.
Le système de valeurs x, y, ?, fonctions continues. de x, 6, qu’on obtient en résolvant les équations (3), fournit une représentation paramétrique de la surface focale. L’équation en x, y, ? de cette surface s’obtient en éliminant + et £ entre les mêmes équations.
THÉORÈME. — Chaque courbe de la congruence touche la surface focale en chacun de ses points focaux.
En effet, sur la surface focale, *, 7, z sont des fonctions de a, £ qui vérifient les équations (3); les composantes 4x, dy, dz7 d’un déplacement tangentiel à la surface focale correspondent à un système d’accroissements quelconques dx, d des paramètres et
sont liés par les relations
ÔdF ÔF OF ÔF GER AIMER Ha ot ePA PA EM! = 4 — 24 re dx 7 dy + Ge dz + = da + 2 d, 0, oh Ô« Ô ù db UP He 0 de dé + da + ad LES U
En particulier, si dx, d& vérifient simullanément les deux équations :
(5) pe dz FEU dE — AU te 1e mr
compatibles en vertu de la troisième équation (3), le déplacement dx, dy, dx se fera sur la tangente à la courbe [«, 8]. Donc cette courbe touche la surface focale.
Réciproquement, si l’on cherche une surface qui touche en un point chacune des courbes de la congruence, on retrouve la surface focale.
En effet, les coordonnées X, y, z d’un point de la surface seront encore des fonctions de x, $ assujetties à vérifier les équations #0)» —" 0 de la courbe touchée en ce point. /Différentions totalement ces équations pour un déplacement tangent à la courbe [x, 8]; nous trouverons les équations (4), se réduisant aux équations (5), puis, en éliminant d£ : dx, la troisième équation (3), qui détermine la surface focale.
BAERCIGES
1. Montrer que l’enveloppe du plan qui coupe les axes rectangulaires aux distances respectives a? : (a + &), a? : (b + «), x? : (c + «) a pour équation (x + y + 2)? 4 (ax de by 65) —= 0:
2. L’enveloppe des plans tangents aux différents points d’une section plane d’un ellipsoïde est une surface conique. Discuter.
3. Une surface canal est l'enveloppe d’une sphère de rayon constant dont le centre décrit une courbe. La caractéristique est alors le grand cercle qui se trouve dans le plan normal à la courbe. Étudier le cas où le rayon varie en même temps que le centre se déplace.
4. L’enveloppe du plan ax + By + y: — /, dont les paramètres sont liésipantes relations at 6 Re Nriet
x LE Y° ES art US 7h Rare 0, est la surface des ondes 50% b? y? c? 72 :
MR NE np r? 5 = 0 CHERE EL APR
6 6. Systèmes de droites :
Surfaces réglées; Congruences
349. Surfaces réglées, développables ou gauches. — On appelle réglée une surface qui est le lieu des positions successives d’une droite mobile nommée génératrice. Il y en a de deux espèces, les surfaces développables et les surfaces gauches. Nous commençons par l’étude des développables. Ce nom leur vient de la propriété d'être applicables sur un plan, que nous examinerons plus loin au 1121355 2°
Nous supposons, dans toute cette théorie, que les fonctions à considérer sont uniformes, continues et dérivables. La plupart des théorèmes tomberaient en défaut dans lPhypothèse de la non
dérivabilité.
350. Surfaces développables. — On appelle développable toute surface qui est l'enveloppe d’un plan mobile à un paramètre. Soit
le plan mobile
Ax + By + C3 + D =0,
LE LL à © :. .
dou re
SURFACES DÉVELOPPABLES got
où À, B, C, D dépendent d’un paramètre «. Si le plan se déplaçait parallèlement à lui-même ou en tournant autour d’une droite fixe, il n’y aurait pas de surface enveloppe. Nous excluons donc ces deux cas. La caractéristique du plan (n° 344) s’obtient en joignant à la
précédente l’équation dérivée par rapport à &, A°x + B'y + C'z + D’ = 0,
et ces caractéristiques sont les génératrices rectilignes de la surface.
THÉORÈME. — Le plan tangent est le méme le long de toute droite de la développable. Une développable qui contiendrait une droite autre que ses génératrices reclilignes se réduirait à un plan.
Le plan tangent ne peut varier le long d’une droite A de la développable. En effet, le plan tangent en un point de la. développable est le plan AX + By + Cz + D — 0 passant par ce point (n° 344). S'il variait le long d’une droite A, comme il contient cette droite, il ne ferait que tourner autour d’elle et n’aurait pas d’enveloppe.
Il suit de là que toute droite de la surface est une des caractéristiques. En effet, si une droite À m'était pas une caractéristique, la surface serait le lieu des caractéristiques s’appuyant sur A. Le plan tangent, ne changeant ni le long d’une caractéristique ni le long de A, serait le même partout et la développable se réduirait à ce plan.
Ainsi une développable autre qu’un plan ne peut admettre qu’un seul système de génératrices rectilignes et le plan tangent est le
même le long d’une génératrice.
351. Arête de rebroussement. Second mode de génération des développables. — En général, les caractéristiques restent tangentes à une courbe gauche, appelée aréle de rebroussement de la développable (n° 347), et qui se définit en joignant aux
deux équations de la caractéristique l’équation suivante : A"x su B'y se C'z LE D" — O,
obtenue par une nouvelle dérivation, ce qui fait un système de trois
équations linéaires d’où l’on peut tirer x, 7, z en fonction de 2.
MOISAIE 26
AT RE | à qe
Mais il y a deux cas d’exception à signaler : Si l’arête se réduit à un point, la développable est un cône, et c’est un cylindre si ce point est rejeté à l'infini.
Réciproquement, le lieu des tangentes à une courbe gauche est une surface développable, à savoir l'enveloppe du plan osculateur de cette courbe.
En effet, le plan osculateur, variable le long de la courbe, ne dépend que d’un seul paramètre, celui du point de contact. Les caractéristiques (intersections de deux plans osculateurs infiniment
voisins) sont les tangentes à la courbe (t. I, n° 236); donc l’enve- :
.loppe du plan est le lieu des tangentes.
Ainsi les développables sont des surfaces réglées dont les génératrices ont une courbe enveloppe, ou bien passent par un point fixe (cône) ou bien ont une direction fixe (cylindre).
Cette courbe enveloppe est l’aréle de rebroussement de la surface. Si elle était plane, la surface dégénérerait dans un plan.
THÉORÈME. — La condition nécessaire et suffisante pour que la droite mobile |
() et CN AD VON e ru
dont les coefficients dépendent d’un paramètre à, engendre une surface développable (ou ait une enveloppe) est que l’on ait
(2) ag — bp = 0.
En effet, pour déterminer le point où la droite touche son enveloppe, il faut ajouter aux équations (1) ses deux dérivées par rapport à « :
RTE ne
La condition (2) exprime que ces deux équations sont compatibles pour des valeurs finies ou infinies de 7. Le point de contact peut être rejeté à l’infini et il peut aussi être fixe ; donc l’enveloppe peut être rejetée à l’infini ou se réduire à un point. La développable peut ainsi se réduire à un cylindre (y compris le plan) ou à un cône.
Remarquons encore que la condition (2) exprime que deux droites
infiniment voisines se rencontrent au premier ordre près.
+ ROSE. NES. RAT nr NP LIS
SURFACES DÉVELOPPABLES 403
352. Equation aux dérivées partielles des développables. — Les surfaces développables satisfont à une équation aux dérivées partielles qui les caractérise. Considérons l’ordonnée 7 comme une
fonction de X, y sur la surface ; et posons, en abrégé,
