Enveloppe de la famille à deux paramètres « et B

UN de avec la condition — Li — 7,

R. L’équation de l’enveloppe est

mp mp

x Mm+p y Mm+p OMC

Caspparticuliers : 19 SM 1,/p— 2,Mhi=üNon,trouve l'enveloppe d’une droite de longueur constante a dont les extrémités s’appuient sur deux axes rectangulaires. C’est l’astroïde, x?[3 + y?]3 = a?]3(t. I, p. 258).

(*) On obtient aussi des résultats intéressants en se plaçant dans le domaine complexe, mais nous renverrons pour cela à notre Mémoire de l Ac. des nuovi Lincei. Vol. XXVIIL, 1910.

20 Sim 2 DEN, bin la conrbetvadriabé test itremelliDsentIOUntS par un des points de la droite précédente et son enveloppe est la même que celle de cette droite.

39 Sim = 2, p = 2, la courbe variable est une ellipse dont les sommets sont les projections dés points d’une ellipse fixe sur ses axes. L’en-

à X y veloppe est un.système de quatre droites Æ =) 217, a )

2, Enveloppe d'une droite. — Les axes étant rectangulaires, on met l’équation d’une droite mobile sous la forme normale

(1) x cos œ + y sin « — f(x) = 0.

Le point-caractéristique est à l’intersection de cette droite avec (2) — x sin a + y cos a — f(x) = 0

et on obtient ses coordonnées x, y en fonction de 4 par la résolution du système. Montrer : 1° que la seconde équation est celle de la normale à l’enveloppe (E) de la droite (x) ; 2° que l’enveloppe de la droite (2) est la développée de (E); 3° que le rayon de courbure R et la différentielle ds de l’arc de (E) sont

ds SR RS PE Ne) SUR lee d’où la formule de rectification de Legendre s= + [SCO + J {C0 de].

3. Enveloppe d'un cercle. — Soit le cercle (a, b, R fonctions de «) Ge — a} + (y — RE 0.

Les points-caractéristiques sont à l’intersection avec la droite (D) ({=g)a (0) RRE= 0,

Cette droite est perpendiculaire à la tangente MT à la courbe (C) décrite par le centre M du cercle, et sa distance au centre est égale à

RR'’ dR L/a + p2 NOR s étant l’arc de la courbe (C) :

19 Si | 4R | < | ds | , la droite D coupe le cercle en deux points et il y a deux branches à l’enveloppe.

En particulier, si R est constant, la droite D passe par le centre et l’enveloppe se compose de deux branches obtenues en portant sur la normale à la courbe (C), de part et d’autre du point M, la longueur constante R.

20 Si dR| > | ds|,la droite et le cercle ne se coupent pas et il n’y a pas d’enveloppe.

30 Si | dR | = | ds | , la droite D est tangente au cercle au point-caractéristique (donc aussi à l’enveloppe) et la normale à l’enveloppe est tangente à la courbe (C). Dans ce cas, /e cercle variable est osculaleur à son enveloppe : la condition nécessaire et sufhisante pour cela est donc