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vées partielles du second ordre rt — 5 — 0.

Réciproquement, r/ — 5° — 0 est l’équation aux dérivées partielles d’une développable. En effet, elle exprime d’abord que p et q

sont fonctions l’un de l’autre. Mais on a aussi

Os om) NT x RUNIeE PAP PAL PAU T dx; 3) ve ‘, x EE Ce

Donc le troisième coefficient (? — px — gy) de l'équation du

plan tangent est aussi fonction du premier p. La surface, qui est

l'enveloppe de ses plans tangents, est donc l’enveloppe d’une famille O 2

de plans à un paramètre : c’est une surface développable.

353. Surfaces applicables sur un plan. — On dit que deux surfaces sont applicables Vune sur l’autre, lorsque l’on peut établir entre leurs points une correspondance telle que les arcs correspondants aient même longueur sur les deux surfaces. Nous allons montrer que les surfaces développables peuvent être caractérisées par la propriété d’être applicables sur un plan.

- ‘1° Une surface dévelobpable est applicable sur un plan.

Soient X, 7, z les coordonnées d’un point O de l’arête de rebroussement de la surface, exprimées en fonction de l'arc s de cette courbe. Les cosinus directeurs de la tangente au point O seront x’, , 2x, en désignant par des accents les dérivées par rapport à s. Les coordonnées £, x, € d’un point M de cette tangente située à la distance (positive ou négative) # du point O, seront |

ef vit

Nous avons ainsi exprimé les coordonnées d’un point quelconque de la développable en fonction des deux paramètres w et s.

Cherchons l'expression de la différentielle ds de l’arc d’une courbe tracée sur la développable. On a

don UE NERO US EEE

Soient R le rayon de courbure et à, y, v les cosinus directeurs de

la. normale principale de l’arête au point O' On a x = FER

SLT etOoN LV 0: tlMentidonc

9 2 ds° = Re ds® + 2 du ds + du? = (du + ds) + (£ ;

Cette expression ne dépend que de la relation # = (5) qui définit la courbe tracée sur la surface et du rayon de courbure KR de l’arête, nullement de la torsion de celle ci.

Or R est une fonction déterminée f(s) de l’arc; et la relation R = f(s) est aussi l'équation intrinsèque (n° 212) d’une courbe plane que nous pouvons construire. Faisons correspondre au point O de l’arête celui O” de cette courbe plane qui est déterminé par la même valeur de s; les rayons de courbure correspondants seront les mêmes. Portons maintenant, sur la tangente en O” à la courbe | plane, une longueur O’M’ égale à OM, donc égale à #; nous determinerons ainsi dans le plan de cette courbe un point M' correspondant au point M de la développable. Ce mode de correspondance entre les points de la développable et ceux du plan conserve la

longueur des ares, car les différentielles ds des arcs des deux courbes

SURFACES DÉVELOPPABLES 405

correspondantes, donc définies toutes deux par la même. relation u — 9(s), ont même expression pour les deux courbes.

La démonstration précédente tombe en défaut par le cône et le cylindre, mais le théorème subsiste et la démonstration en est immédiate comme le lecteur peut le vérifier facilement lui-même.

2° Réciproquement, une surface applicable sur un plan est développable.

Soient «, & les coordonnées des points du plan sur lequel on applique la surface. Nous pouvons considérer les coordonnées

y, x des points de la surface comme des fonctions de celles «, & des points correspondants du plan. Les longueurs étant conservées, aux droites qui sont les lignes les plus courtes du plan, doivent correspondre les lignes géodésiques de la surface. Faisons varier a, @ sur une droite (D) de direction arbitraire, nous RE prendre da et d& tous deux constants ; alors ds = ]/da? + d£?, qui est aussi la différentielle de l’arc de la géodésique (2) correspondante, est constant également. Les cosinus directeurs de la normale principale de (g) sont (ds étant constant) proportionnels à d'x, d°y et d’z. Mais, d'autre part, puisque c’est une géodésique, ils sont aussi proportionnels aux coefhcients directeurs p, qg et — 1 de la normale à la surface (n° 281). On a donc, pour dx et d£ constants,

les identités en.«, &, da.et dB :

de hdi 0, d'y di 0 Remplaçons dans ces deux équations d°x, d°y et d°z par leurs

expressions développées en dx et dB; les coeflicients de da*, da d£,

et d&? seront nuls séparément. On aura, en particulier,

Ge DER OEX (PA ea Pr A PER Ra Da 00 LP pu DE 05

puis, en multipliant respectivement par da, df et ajoutant,

1e at

D 0 démème, 14 . nu =, (:

en même temps que —— et, par conséquent, sont fonctions de +

Ôc

+ Pr. En. L r L +4 EN >, NAT SONT 172 Ar EU 'O # PTT" CU ANS PRE "IRL

seulement, donc que p et g sont fonctions de ce même paramètre. Alors p et q étant aussi fonctions l’un de l’autre, la surface est

développable, comme on la vu au n° précédent.

354. Surfaces réglées gauches. — Toute surface réglée peut être considérée comme engendrée par une génératrice recliligne G qui s'appuie constamment sur une courbe directrice l. Soient x, y, z les coordonnées d’un point de la directrice [exprimées en fonction d’une variable indépendante {; 4, b, c les cosinus directeurs (fonctions de {) de la génératrice G (considérée avec un sens) qui passe par ce point {; u la distance (positive ou négative) d’un point M de G au point x, y, z. Les coordonnées £, r, € du point M de la génératrice G seront données par les formules

(G) EX + au, na Yi bu, = z + cu,

Celles £,, r,, & d’un point M, de la génératrice G, infiniment voisine, menée par le point (£ + Af) de la directrice, seront, de même, CG) 4 = x + du, M = Yi + bits, HU OT Cats où l’on a |

Ni TT ARS (ECO EAN Pal EME

Cherchons la plus courte distance OO, de la génératrice G à la génératrice infiniment voisine G,. Le carré de la distance à de deux points M(E, n, ©) et M,(E,, 1, &) de ces deux génératrices a pour expression | SE £\2 AT . ANSE AT Q) 8 (EEE nr D GE OS

Pour obtenir son minimum, il faut annuler ses deux dérivées par

rapport à # et #,, ce qui donne, eu égard aux valeurs de , £,,...

SURE E — Due Me CNE — Z(E, — E) a = 0, D (ENEO) AEEEU Mais comme d, — 4 + Au,... ce système peut être remplacé

par le suivant :

(2) 2(E, — EE) 4 = O0, S(E, —EMARE 0:

Faisons dans ces deux équations les substitutions