SURFACES RÉGLÉES GAUCHES

La première équation montrera que ”, tend vers # quand Af tend

vers O, et la seconde deviendra 2 Ag Ax:+ u,ÿ AG + (u, — u) SE aAa — 0.

Divisons par Af° et passons à la limite; en désignant par des accents les dérivées par rapport à / et en remplaçant #, par sa limite #, il vient simplement

EUR tu Da = 0:

carlétrapport SN VAT reste fini. On s’en assure en retranchant Za*— r de 2(a + Aa) —'7, ce qui donne 2Xa Ag — — 5 Ag’. De là, la valeur ”, de # donnant le minimum : SITE 3) LS RTE

Cette valeur (positive ou négative) , détermine sur la génératrice G un point O, qui est le pied de la perpendiculaire commune OO, avec la génératrice infiniment voisine, et qu’on appelle le point central. Le lieu de ce point quand la génératrice varie, est une courbe de la surface appelée ligne de striction. Dans le cas particulier où la surface est développable, le point central est le point-caractéristique de la génératrice et la ligne de striction devient larête de rebroussement de la développable.

L’équation (3) montre quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que la directrice V' soit la ligne de striction (ou l’arête de rebrous-

sement) de la surface, ou pour que l’on aitu, = 0, c’est D ONE Qi e b'yA Nez O

Déterminons maintenant les cosinus directeurs x, , v de la plus courte distance à considérée dans le sens OO, (ou de G vers G,). À cet eflet, remplaçons dans les équations (2) &, — &,... par les quantités proportionnelles 2...; elles deviennent Xxa — O0, EAAa — 0. On en tire, par les propriétés des fractions égales, en désignant par l’angle des deux génératrices infiniment voisines

GrerG;,

RL A mi Mb Pau sin 4

car on sait, par la géométrie analytique, que PET et 2(b Ac — c Ab} — sin° y.

Enfin Aa et Aa, étant nuls, la plus courte distance à elle-même

sera

DA(E, — E) = ZA (AX E ju, — au) — EX AX;

ou, en remplaçant À, »., v par leurs valeurs (4),

Le ATEN SOUT A I Ÿ à —— ï / } De Ho Ac A=—+ D . » ALT Z

Comme on dispose du signe de 4, on peut le déterminer en prenant le signe + dans les équations précédentes. Cela revient à compter l’angle % dans le sens de la rotation directe autour de OO, (ou &), car si l’on prend OO, pour axe des ?, on a = ret/là dernière relation (4) donne sin % — 4 Ab — b Au, quantité positive dans le sens indiqué. Nous écrirons, en abrégé, 3 sin 4 —{a, Aa, Ax|;

et, en développant jusqu'aux termes du troisième ordre, nous aurons I I à sin d — [a, da, dx] + D [a, da, dx] + s [a, da, d’x] + … | I | — [a, da, dx) + = d\a, da, dx] + …

Le facteur sin 4, qui a pour valeur principale J/E (bdc — cdb)°

ou p/ da? + db? + dc, est du premier ordre, de sorte que, en général, à est du premier ordre en d{. Si à est d’ordre plus élevé, le point central est un point-caractéristique et la surface est développable. Donc /a condition pour que la surface soit développable est que l’on ait constamment |a, da, dx] = 0. Mais alors la différentielle de ce déterminant s’annule aussi, de sorte que à est du troisième ordre. Donc, dans une surface développable, la distance de deux génératrices infiniment voisines est du troisième ordre.

Supposons maintenant la surface gauche. Divisons la dernière

équation par sin° Ÿ et passons à la limite ; 1l vient

An den ARR 2e AR 9 RC ARRETE CREED OUTRE Rare

or (+