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OR NOE | F et ses dérivées partielles —— et —; sont des fonctions continues.

ÔY Ôy Désignons par y’, et y’, + y’, les orientations initiales des deux courbes infiniment voisines, par Ôy, dy’, dy” les variations correspondantes de y, y’ et y”. Il vient, en difiérentiant l'équation précédente avec à,

NOR à CO == y TA ET Sy = 0.

Si les deux courbes infiniment voisines se rencontrent pour les abscisses O et x,, cette équation linéaire admet une intégrale y s’annulant pour les mêmes valeurs. Mais nous allons montrer que toutes les intégrales de cette équation qui s’annulent pour x = 0 s’annulent, en ce cas, pour X == X,, qu’elles soient infiniment voisines ou non; d'où il suit que X, n’est pas infiniment petit. En effet, si #, est une intégrale s’annulant pour x — O, et #, une autre intéorale, Pintécrale générale de l’équation linéaire est Cu, + Cou et les seules intégrales qui s’annulent pour x — 0 sont de la forme Cu; ainsi, si lune de“celles-ci's’annule pour x =" x" que #, s’annule, et alors ces intégrales s’annulent toutes pour LEO:

Donc deux courbes infiniment voisines ne se rencontrent qu’à distance finie. Comme alors il est clair que deux courbes qui ne sont pas infiniment voisines ne peuvent se rencontrer qu’à distance finie, il est possible de décrire un cercle de centre À dans lequel les courbes ne se recoupent pas.

La question de reconnaitre si, par deux points, on peut faire passer une ou plusieurs géodésiques est une question importante et délicate sur laquelle nous reviendrons plus loin. Nous verrons que la courbure totale de la surface est un élément qui joue un rôle important dans la solution de cette question.

403. Théorème. — Soit tracée sur une surface un segment de ligne L qui ne se coupe pas et dont la courbure géodésique soit bornée ; si lon élève, le long de cette ligne, des géodésiques normales de longueur suffisamment petite, ces géodésiques ne se couperont pas entre elles.

Je vais d’abord prouver qu’une géodésique AB issue du point A de la ligne L ne peut être coupée par la géodésique infiniment voisine en un point infiniment voisin de son origine. En effet, projetons la figure sur le plan tangent à la surface au point A; les deux géodésiques infiniment voisines se projettent sur ce plan normalement à la projection de la ligne L. Sices projections se rencontraient en un point infiniment voisin de À, comme ces géodésiques se confondent (au premier ordre près) avec les normales à la projection de L et que celles-ci se coupent au centre de courbure géodésique, le rayon de courbure géodésique de la courbe L serait nul et cette courbure infinie au point À, contrairement à l'hypothèse.

Donc on peut supposer les géodésiques AB suffisamment courtes pour que deux géodésiques infiniment voisines ne se coupent pas. Mais deux géodésiques AB qui ne sont pas infiniment voisines ne peuvent se couper qu’à une distance finie de leur point de départ A (au moins pour l’une d’elles). On peut donc raccourcir sufhsamment

ces géodésiques pour qu’elles ne se rencontrent plus.

404. Expression de la longueur d’une ligne géodésique. Théorèmes qui s’en déduisent. — Considérons une ligne géodésique joignant deux points A(x,, %,, &) €t B(%X4, Ya, 1) de la surface. Supposons que, le long de cette ligne, >, y, z soient fonctions d’un paramètre { qui varie de O à 1. Si l’on déplace les points À

et B, la longueur de la ligne, qui est donnée par l'intégrale

El

s =| ds =| /ax? + dy + dx’, 0 0 varie aussi, et sa variation calculée au n° 180 se réduit à l'expression

Ne e + dydy + dz x] # ds 0

parce que lintégrale qui s’ajoute à ce terme (n° 180) disparaît pour

une ligne géodésique.

On tire immédiatement de cette formule les théorèmes suivants, établis par Gauss mais par une toute autre voie.

1° Si, à partir d’un point À, on mène une ligne géodésique AB de longueur constante et que l’on fasse tourner celle courde autour du point À, le point B se déplace normalement à AB.

2° Si, en chaque point À d’une courbe MN, on mène une géodésique AB normale à ceite courbe et de longueur constante, le lieu du point B est encore normal à la courbe AB.

On a, dans les deux cas, en effet, 8x dXo + Jo dJo + Hodto — 0,

car le déplacement Ôx,, dy,, à, du point À est nul ou normal au déplacement dx,, dÿ,, d?, du même point sur la ecodésique. La

relation précédente se réduit donc à dx; dx, + dyidh + dudu = 0.

Celle-ci exprime que le déplacement èx,, ôy,, à, du Point B est normal à la géodésique.

3° Etant donnés deux foyers A(x,, Yo %o) ét A'(x",, Y'o Lo) SUr une surface, les lieux des points de la surface tels que la somme ou bien la différence des distances géodésiques aux deux foyers soit constante, bissecte l’angle des deux rayons vecteurs géodésiques.

En effet, soient respectivement x, y, z et x’, y’, z les coordon-

nées courantes sur chaque géodésique ; on a, selon le cas,

ds ds’

Qi [ RDA CEE LUC RC LE TRE PS CSA EC CSSS 0 à

Mais les variations à sont nulles à la limite O et sont les mêmes à

la limite 1, de sorte que cette équation se réduit à dx ÈX, + dy,0Y1 + d7y ur AX' A ÈX à + AY Y'a d'a 0 ds, et ds’ TT Soient + et ® ‘les inclinaisons respectives des tangentes aux deux géodésiques au point commun B; soit ÿ l’inclinaison de la

courbe décrite par B; soit enfin ès la grandeur du déplacement

élémentaire du point B. Divisons l’équation précédente par ds; elle peut s’écrire | cos (Ÿ — ©) + cos (4 — » ) — 0.

Donc 4 — % est, au signe près, égal à 4 — ©” ou à (4 — r) — »’. Dans les deux cas, le déplacement du point B bissecte lPangle des deux géodésiques.

On peut donner aux lieux décrits par B les noms d’ellipse et d’hyperbole géodésiques.

Ces deux courbes se coupent donc normalement aux points communs. On voit que l’on peut ainsi étendre à une surface le système orthogonal formé d’ellipses et d’hyperboles homofocales dans le plan (n° 156) : on lui substitue un système d’ellipses et d’hyperboles géodésiques homofocales sur la surface.

Ces conclusions se généralisent d’elles-mêmes. Au lieu de considérer des géodésiques égales AB et A’B issues de deux foyers fixes, considérons deux perpendiculaires à deux courbes données sur la surface. Les courbes lieux des points dont la somme ou la différence des distances géodésiques à deux courbes données sur la surface est constante, bissectent l’angle des géodésiques qui mesurent ces distances; elles se coupent à angle droit et définissent aussi un

système orthogonal sur la surface.

405. Surface rapportée à ses lignes géodésiques. Coordonnées polaires géodésiques. — Prenons comme coordonnées curvilignes sur la surface, une famille de géodésiques et leurs trajectôires orthogonales. Ces trajectoires interceptent, d’après ce qui précède, des arcs égaux sur les géodésiques. On peut donc les définir par leur distance géodésique # à une trajectoire particulière.

Les équations des géodésiques seront

DRE CONSÉ:

et celles des trajectoires u — Const.

Ces coordonnées étant orthogonales, le carré de lélément linéaire est de la forme Edu*? + Gdv*'; mais, ds se réduisant à du

sur une géodésique, il faut que E = 1x, et l’on a, en posant G = #°, (15) ds = du? + m°dv”,

Nous vérifierons tout à l’heure que, réciproquement, si ds est de cette forme, la surface est rapportée à une famille de géodésiques et à leurs trajectoires orthogonales.

On peut,.en particulier, choisir la famille des géodésiques issues d’un même point À pris comme pôle géodésique. On définit alors chacune de ces géodésiques par l’angle v que fait son élément initial avec celui d’une première géodésique de repère. On constitue ainsi, sur la surface, un système de coordonnées polaires, tout analogue à celui des coordonnées polaires dans le plan. Dans cette hypothèse, si lon considère un élément de surface infiniment petit autour du pôle, la partie principale de ds* doit se confondre avec son expression en coordonnées polaires dans le plan. Donc, quand

u tend vêrs O, la partie principale de "1 est u.

406. Détermination de la géodésique infiniment voisine d’une géodésique donnée. — Considérons une géodésique issue du point À de la surface, et soit B un point de cette courbe suflisamment voisin de À pour que la géodésique AB ne soit pas rencontrée par une géodésique infiniment voisine issue du même point (n° 402). Nous pouvons étudier la surface dans le voisinage de la ligne AB en faisant usage des coordonnées polaires géodésiques, le point À étant pris comme pôle. Dans ces conditions, le carré de l'élément linéaire est de la forme (15) ci-dessus

A8 = du’ + m°dv*.

Si l’on fait du = O, l'arc ds se réduit à mdv et mesure l’arc de trajectoire entre les deux géodésiques (v) et (v + du) au point w de la géodésique (v). Le long de cette géodésique # seul varie et m est une fonction de # qui vérifie la formule de Gauss (n° 397)

I In 0 40 dm no et | ou RAR Modus du?

De là, la proposition suivante :

Tant que la géodésique (v) ne rencontre pas la géodésique infini-

ment voisine 15sue du même point, la quantité p —= mdv qu'il faut

porter normalement à la courbe pour obtenir la géodésique infiniment

voisine, est une solulion de l'équation linéaire du second ordre

de) DE ARR = dont la valeur initiale est nulle.

La solution fournie par cette équation sera donc valable tant qu’elle ne passera pas par la valeur 0.

On tire de là quelques conséquences fondamentales :

1° Sÿ la courbure totale est négative le long d’une géodésique, celle-cr ne peut rencontrer la géodésique infiniment voisine issue du même point.

En effet, on peut, dans ce cas, assigner un nombre positif 4° satis-

faisant à la condition a° TER ET Ki 0.

L'équation (16) peut s’écrire

p'— pat = — p(e + RE).

Intégrons cette équation par la formule finale du n° 190, comme

si le second membre était donné ; il vient (a étant remplacé par di) #4 RER te sh ES RER ) il p = Ach au +Bsh au AUIC (a AE pdl.

Mais p s’annule pour # — 0 ét nous désignons par p’, la valeur initiale de p” (que nous supposerons positive). La valeur de p se reduit à |

= Er g| dat —N(e + pi) Les ; sh au À sha(u — 1t){a° + RR pdt.

* D'abord p croît avec s et devient positif; tant qu’il le reste, on a

Donc p reste toujours positif et les formules précédentes sont toujours valables. Les deux géodésiques infiniment voisines s’écar-

tent indéfiniment l’une de l’autre.

2° Si la courbure totale est positive, supérieure à a? mais < b°, le long d'une géodésique, cette géodésique rencontre pour la première fois la géodésique infiniment voisine issue du même point à une distance u de ce point comprise entre x : betr : a.

L’équation différentielle se met sous la forme

p'+ ap = (a — KE )r:

d’où, comme ci-dessus,

dE Pe sin au + 2 Al hoG he DER. fe ) par.

1 Ko

Tant que est < + : 4 et que p est positif, l’intégrale est négative et l’on a p< a sin du ;

donc la première racine # est < x : 4.

Au contraire, remplaçons 4 par b; nous voyons que, tant que n est < x : Det que p est positif, l'intégrale est positive et que l’on a

donc la première racine u est > x : b.

Ce théorème suppose que la géodésique considérée ne se recoupe pas elle-même à une distance de son point de départ inférieure à celle dont il s’agit dans le théorème précédent. Il est clair, en effet, que si une géodésique se recoupe, elle recoupe en même temps la géodésique infiniment voisine. Cependant le théorème précédent s'applique encore, comme on le voit facilement, à condition de ne considérer que le point de rencontre de deux arcs qui diffèrent infiniment peu l’un de l’autre sur toute leur longueur.

Il peut aussi arriver qu’une géodésique se ferme et, dans ce cas encore, l’énoncé peut être mis en défaut. Pour le rendre exact, il faut admettre que la géodésique engendrée par la variation de se compose de spires qui se superposent sans se confondre, de sorte que les points qui correspondent à deux valeurs différentes de x soient distincts. Il ne peut plus y avoir alors de points communs à

nn a dd do \

deux géodésiques infiniment voisines que ceux qui correspondent à la même valeur de #, comme cela est admis dans la démonstration.

407. Théorème. — Entre deux points donnés À ei B sur une portion de surface à courbure négative et limitée par un seul contour, on ne peut tracer qu'une Seule ligne géodésique. |

En effèt, dans le cas contraire, on pourrait tracer deux lignes géodésiques ayant les mêmes extrémités et enfermant la plus petite aire possible sur là portion de surface considérée, et cette aire ne serait pàs nulle car deux géodésiques infiniment voisines ne se coupent pas. Mais alors, à l’intérieur de cette aire, on pourrait tracer deux

. géodésiques infiniment voisines des premières et qui enfermetaient

une aire plus petite, contrairement à l’hypothèse,

En particulier, süf une portion de surface à courbure négative, initée par un seul contour, une ligne géodésique ne peut se fermer. Par contre, cette éventualité peut se présenter dans une aire à connexions multiples. Tel est le cas, par exemple, pour l’équateur intérieur d’un tore.

408. Théorème. — Si lon peut circonscrire, autour d’une géodésique AB, une portion de la surface sur laquelle les géodésiques issues du point À ne se coupent pas, la géodésique AB jouit de la propriété du minimum : elle est plus courte que toute ligne suffisamment voisine menée entre les mêmes extrémités.

Prenons À comme pôle géodésique et soient, en coordonnées polaires géodésiques, (0, v,) et (#,, v,) les coordonnées des points À et B. L'élément linéaire ayant la forme (15) indiquée au n° 405,

la longueur d’une ligne AB à pour expression

; du 2e t1-dui, / 40

Elle est minimée si dv — 0, c'est-à-dire si la ligne est la géodésique,

Le même raisonnement prouve que, si l'élément linéaire est de cette forme, la surface est rapportée à un système de géodésiques v — const. Ces lignes sont, en effet, des extrémales de l’intégrale

précédente.

409. Equation des lignes géodésiques en coordonnées polaires géodésiques. — Si l’on calcule directement les extrémales de l'intégrale précédente en ne donnant de variation qu’à # (n° 277), on obtient immédiatement l’équation différentielle des géodésiques DU OM T

RU

dv.

L'expression du* + m°du° de ds? montre que ds est la résultante de deux composantes rectangulaires, l’une du suivant la géodésique de référence, l’autre " du’suivant la normale à cette courbe. Donc,

si l’on désigne par 6 l’angle que fait ds avec la géodésique, on a

et l'équation différentielle précédente se réduit à

d cos 4 = 7 sin 0 dv; Ou ou, plus simplement encore, à R Om I Ô — — — dv.

G7) du

Pour former la relation entre # et v, il faut encore éliminer dû par la relation

Ôv Ben

mais il est souvent avantageux de conserver lPéquation différentielle des géodésiques sous la forme (17).

410. Théorème de Gauss. — La différence À + B+C—7z entre la somme des anoles d’un triangle géodésique ABC et deux angles droits, est égale, en grandeur et en signe, à la courbure totale de l'aire du triangle ABC sur la surface.

Cette courbure totale s’exprime par l'intégrale double, étendue à l’aire du triangle sur la surface,

[U ds NNEGET Ans =\| RP

LIGNES GÉODÉSIQUÉS 47 On a de Cr Ki RAA HAROU RE

L’intéorale double se réduit donc à la suivante, qui se ramène à

une intégrale curviligne sur le contour du triangle par la formule de

0m Ôm

Cette intégrale doit être effectuée dans le sens direct, c’est-à-dire

Green,

que /dv est positif. Sur une géodésique, d’après l’équation (17), l’intéorale curviligne se réduit à la suivante O O

étendue aux côtés successifs du triangle ABC dans le sens direct relativement à (#, v).

Pour simplifier le calcul, prenons le sommet À comme pôle d’un système de coordonnées polaires géodésiques. Il faudra compter l'angle 4 dans le même sens que v qui est celui de la rotation directe du rayon vecteur autour de À. Seulement le point À est un point de discontinuité relativement à v et la formule de Green n’est pas applicable. Pour éviter la difficulté, nous recoupons le triangle ABC par une géodésique £y infiniment voisine du point À et formant un triangle infiniment petit AB que nous excluons. Il faut maintenant calculer l'intégrale / d8 sur le quadrilatère £BCY8. Sur 6B et sur Cy, l’angle 4 est constant. On considère angle 4 dans le prolongement

et à gauche du rayon vecteur. On a donc \ EE CD (BC) BC

Pour la même raison, on a dans le triangle ABY (assimilable à un triangle rectiligne)

| DEN En RER Re Pr |

Mais, sur le quadrilatère, le côté By est parcouru dans le sens contraire Y£ ; il faut donc retrancher cette intégrale de la précédente.

On trouve donc, en définitive, en intégrant sur le quadrilatère, \u = (a +8 + C) — 7.

Le théorème de Gauss est ainsi établi, pourvu que le système de coordonnées utilisé soit applicable dans tout le triangle. Mais le théorème est général; il subsiste pour un triangle quelconque, pourvu que l’on puisse le décomposer, par des géodésiques transversales, en un réseau de triangles à chacun desquels le théorème s'applique. En effet, si le théorème est vrai pour chaque triangle partiel, une simple addition prouve qu’il subsiste pour le triangle entier. On observe seulement que, si l’on décompose un triangle en deux autres par une droite issue de l’un des sommets, on ajoute deux angles droits à la figure.

Le théorème de Gauss prend une forme particulièrement simple si on l’applique aux surfaces à courbure totale constante. Dans ce cas, l’aire du triangle sur la surface est égale au quotient de l’excès angulaire (positif ou négatif) par la courbure totale constante. L’aire est proportionnelle à l’excès angulaire. Dans le cas de la sphère, on retrouve le théorème classique donnant l’aire du triangle

sphérique.