DÉFORMATION DES SURFACES *AS

paramètres #, v définissent les points correspondants dans les deux surfaces.

Dans ces conditions, pour que les arcs de deux courbes correspondantes quelconques aient même longueur sur les deux surfaces, il faut qu’ils aient même diflérentielle ds en tout point et en tous sens. Pour cela, il est nécessaire et suflisant que l’expression de l'arc soit la même en ”, v et du, du pour les deux surfaces, ou que

lon ait sur les deux surfaces la même formule ds? = Edu* + 2Fdudv + G dv.

Iles doncenécessaire et suflisant, que les” paramètres E/ F, G soient les mêmes pour les deux surfaces.

Le problème de trouver une surface applicable sur une surface donnée est celui de la déformation des surfaces. Ce problème consiste à changer la forme de la surface sans changer celle de élément linéaire.

Gauss à montré que l’invariance de l’élément linéaire dans la déformation entraîne nécessairement celle d’autres éléments géométriques définis sur la surface. Les éléments invariants les plus remarquables sont la courbure géodésique des courbes tracées sur la surface et la courbure totale de la surface elle-même en chaque point.

Nous démontrerons l’invariance de la courbure géodésique dans le prochain paragraphe. Celle de la courbure totale est la consé-

quence immédiate du théorème suivant dû à Gauss :

396. Théorème de Gauss. — La courbure totale en un point s'exprime en fonction des trois paramètres EË, F, G et de leurs dérivées partielles des deux premiers ordres : elle ne dépend que de la forme de l'élément linéaire. Donc la courbure totale ne change bas quand on déforme la surface.

Nous avons, pour calculer la courbure totale b, 2, la formule (394)

NE NI 04 Pa — TT

HOUR Ce HEIN. CEINDSS

1 da EG dur, : \ qui joue, comme nous le verrons plus loin, un rôle fondamental dans la théorie des géodésiques. TR : 2 4 À tr La ét MES A M Fe

Nous savons déjà que H° — EG — F° ne dépend que de l’élément : linéaire. Il faut montrer que | AC

HL.HN — (HMy

s'exprime en fonction de E, F, G et de leurs dérivées partielles. }

Remplaçons HL, HN, HM par leurs valeurs écrites au n° 392 sous forme de déterminant et effectuons les produits par la règle de 4 la multiplication des déterminants. En tenant encore compte des ; valeurs de E, F, G (n° 392), l'expression considérée prend la forme :

d’une différence de deux déterminants

ZXyXo9 ZX Xo9 2 XoXoo | Xe XXe 2XoX40 |

2 XX e E AR SENS Po die E

DNS NA Re Ge DA LE G et, en retranchant la même quantité | !, "V2

(EG — F°) EX, Xo9 | PR aux deux déterminants, leur différence devient € Ÿ + S 4 4 Sri | 0 ZXiXe 2 Xo%0 D(y9—X11%99) EX, Xyo EXo 49 DTA NUE F SA AUS E Ne DU RO G DYe er G

Pour achever la démonstration, il suffit de vérifier, par le calcul … direct, que les sommes Ex, %,,, EX, Xe, EXo Xyo Et EXo Nos, OÙ il W a un indice commun aux deux facteurs, sont les dérivées partielles de

E et G par rapport à # et v; ensuite que les trois dernières sommes f

à + N' | ee 2 2 Vi X99) 2 X2 X 41; D (9 — X11Xo0), ont respectivement pour valeurs | 43100 DÉRRAETEOE ORAMPENOE 10,0 ENS 0 PE PAEMT PO CES en

Ov. 2 du” Ou. V2 Our 2 ÔÜv° AO à Er Nous ne ferons pas ces substitutions et nous n’achèverons le calcul

que dans un cas particulier.

Supposons que l'élément linéaire ait l'expression réduite

| pi CN Nr ete us fa à IPN À h + à, ds er) # V2 # ; ” * } 4, ri è + Fu, y r da Ar ‘4 at ? pra jen

SU SrEUS Vaur ARE NU PES PS 4 k FA .

Ha PR nt Ve | 2

Vo te). No Re +1 de Ex v Le ( HS | : $ "+ * 1 ue , < E f ki r 4) 1 ! 3

RES un il LIGNES GÉODÉSIQUES 459

Dans ce cas, le premier ar disparaît, car les éléments de la première colonne sont tous nuls. Il vient

1#G 0 1 ÜG 2000: 2 du ) H'pp = —| 0 1 0 OC :

ELA 0 G et, comme RS AE SE dt CS) Done MARNE à 2G du LME ar ipo #1” G G { R, ie UE G NAN R À

Posons, pour abréger l'écriture, 1 = # /G G ;

nous aurons le théorème suivant :

Quand l'élément linéaire le la surface a pour expression

PRESS ONE en LA LE

la courbure totale est liée à cette expression par la formule toute simple

| mL D AE TO" HO RCE PA :

1 Ko

Ce résultat fondamental est encore dû à Gauss.

6 5. Lignes géodésiques

398. Introduction de la courbure géodésique dans . FRS de la variation de longueur d’une ligne. — Les lignes géodésiques d’une surface sont, comme nous le savons QUE 28 1),

les extrémales (sur cette surface) de l'intégrale

UN I “(ya + dÿ? + dz°.

La variation de cette intégrale sur la surface est liée à la courbure

géodésique de la ligne d'intégration par une formule remarquable.

A ET L TU te

pe mA at: “Te

Fe me RE ae S FC ns LE

Vu DS ce Ar

DUT LR

Ve te pu

Laissons fixes les quantités aux limites ; la variation à se ramène,

après intégration par parties, à la forme connue

à N < z ADX UÈ VD OL = \e DX EF AE M TONER pehe 2 SEA ds.

où «a, B, y sont les cosinus directeurs de la tangente à la ligne, À, pv, v ceux de la normale principale, et R le rayon de courbure. Désignons par Jo — J/8x* + dy" + 37° la grandeur du déplacement imposé par la variation au point M de la courbe, et par o l'angle que ce déplacement fait avec la normale principale. Nous avons

AÔX + puy + vèz —='È0 coS'»

ét, par. stute,

Supposons maintenant que l’on déplace le point M normalement à la courbe. Alors les angles © et À que fait do avec la normale principale à la courbe et la normale à la surface, diffèrent d’un angle droit : on a, suivant le sens de do, cos 9 = + sin 0. Mais on peut convenir de donner un signe à ès de manière que le signe

ambigu soit toujours + ; il vient, dans ce cas particulier, À SATLEU UE (1) dl = — Re ds do.

Dans cette intégrale, ds est le déplacement normal à la courbe, et sin 6 : R est la courbure géodésique.

Sous cette forme, on aperçoit immédiatement que les extrémales (ou les géodésiques) sont les lignes dont la courbure géodésique est nulle (n° 364).

Cette formule prouve que si deux surfaces sont applicables l’une sur lautre, la courbure géodésique de deux courbes correspondantes est la même sur les deux surfaces, puisque les variations ôl de longueur des courbes correspondantes sont les mêmes et les variations à aussi.

LIGNES GÉODÉSIQUES 461 Cette formule met aussi en évidence que la courbure géodésique d’une courbe définie en coordonnées curvilignes par une relation

— ç(u), ne peut dépendre (comme Ôl) que de la forme de lélément linéaire de la surface. Nous allons le montrer plus explici-

tement dans le n° suivant en développant les calculs.

399. Théorème. — L'expression de la courbure géodésique d’une courbe, sur une surface définie en coordonnées curvilignes u, v, ne dépend que des coefficients E, EF, G qui figurent dans l'élément linéaire, de leurs dérivées partielles premières et’ de la relation entre u et v qui définit la courbe. Par suite, la courbure géodésique d’une courbe tracée sur une surface resie invariable quand on déforme la surface.

Conservons la représentation de la surface et toutes les notations du paragraphe précédent. La condition pour que deux déplacements (dx, dy, dz) et (0x, dy, dx), de longueurs ds et Ô7, soient rectangulaires, est que l’on ait

Zdx dx = Z(x, du + Xodu) (xj du + XÔv) = 0.

En effectuant le produit, cette condition revient à E du du + F(dudv + dudu) + Gdvèv = 0.

Elle ne dépend, comme on le voit, que de la forme de lélément linéaire. | Observons que l’on a identiquement Ex EF du + G dv) — 2F(F du + G dv)(E du + F dv) + G(E du + Fdv) | — (EG — F°) (Edu° 2F dudv + Gdv°).

La relation de perpendicularité nous donne, par les propriétés

des fractions égales et en utilisant lidentité précédente

(2) Ôu mie roy À D ICO EEE Cal EG Fids

où l’on a ds? = Edu* + 2F du dv + G dv”, ds? == E du? + …

Calculons maintenant la variation de lintégrale

I —\« —\ Fur + 2Fdudv + Gdv’,

re u

À t 5 ANR CEE A MA ME EL j 4 , À LS AU a ARE PL He are MORE TEE 6 LE Rs an 462 CHAPITRE XII. LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE

les quantités aux limites restant fixes et en donnant à w, v les variations du, dv; nous trouvons, par le procédé de calcul habituel, un |

résultat de la forme JE

(3) à = \par + Qù, ARE

où les valeurs de P et de Q sont les suivantes : | s pe E qu 2 Ju, qe ns JE + Eu 4

“A Que HU pu + Je FA esS

Ainsi, quand la relation ne u et v est donnée, P et Q ne dépen- NM dent plus que de E, F, G et de leurs dérivées partielles premières. | Remplaçons Ôu et Ôv par leurs expressions (2) tirées de la condition de perpendicularité du déplacement ; il vient

SI =\* + Gdv) — Q(Edu + Edo) SE ds VEG—F A : 4

Avec cette condition de PR sous le 3e

signe / doit s'identifier avec celle (1) trouvée au numéro précédent. {0

De là, l’expression de la courbure géodésique : sin Ô re PROD ER DDESE Q(Edu + Fav) IN ds J/EGE FE À

Il reste à y remplacer P et Q par leurs valeurs (4) ci-dessus.

Pour une même relation entre # et v, la courbure géodésique ne 5 dépend donc que de E, F, G et de leurs dérivées prémières : Te ne change pas quand on déforme la surface. Donc quand deux sur-

faces sont applicables l'une sur l’autre, la courbure géodésique des courbes correspondantes est la méme, aux poinis CO ER UtE EE sur. É

les deux surfaces. Fe

400. Equations différentielles des géodésiques en core. ip données u, v. — On obtient ces équations en annulant la variation Ô[ et,

lexpression (3) de ôl. On obtient ainsi les deux équations .

par conséquent, les coefficients de ôw et dv dans

différentielles

HS) ES UMR D SEE

Let DE D de

LIGNES GÉODÉSIQUES 463 où P et Q s'expriment par les formules (4). Ces deux équations

rentrent d’ailleurs l’une dans l’autre, moyennant la relation (6) ds E du? E 2Fdudu + Gdr”,

qui permet d'éliminer ds de l’une ou de l’autre, par exemple de Q = 0. Après cela, l’équation Q — 0 est une équation différentielle du second ordre entre # et vw. Son intégration conduit à la relation v — 9(u) qui définit la géodésique. Cette relation contient deux constantes arbitraires d’intégration, qui permettent de faire passer la géodésique par un point arbitraire et de lui imposer une direction initiale arbitraire sur la surface. Si l’on sait trouver une intéorale première de cette équation différentielle, l'intégration s’achèvera par des quadratures, ainsi qu’il résulte d’un théorème général du calcul des variations (n° 278).

Mais on peut encore procéder autrement pour effectuer l’intégration des équations des géodésiques. Si l’on fait abstraction de la

relation (6), les deux équations (5) forment un système de deux

équations différentielles simultanées permettant de déterminer # et v

en fonction de s. Prenant s comme variable indépendante et, par suite, ds constant, les deux équations PEN 0ethO 2: Or'divisées par ds sont de la forme

d'u EU e du , dv dv \° po c(#) ae)

ds ds? ds br ds ds

FE) ARR Ut du \’ du . dv \° SR no ie (e) Se Po ) ds? ‘4 ds? DAS net ds A

où les coeflicients 4, b,... sont des nn connues (continues et dérivables) de u, v. Ces deux équations peuvent être résolues par

rapport aux dérivées secondes, car le déterminant du système est

EG — F° ou H° qui ne peut s’annuler (n° 392). Cette résolution

n’altèrera pas la forme quadratique des seconds membres des équations précédentes ; donc les équations différentielles s’écriront encore

sous la forme |

LRd'uria Ce) , du dv )

c) ANA DEVRA TARA er

7 , | ; 3 RTE ARE d du dv. dv

US ds ds ds NA)

où les coefficients 4, b,... ne sont plus les mêmes que dans les

équations précédentes, mais sont encore des fonctions connues, continues et dérivables de #, v.

L'intégration du système (7) déterminera w, v en fonction de s et

de quatre constantes d’intégration, permettant de choisir arbitraire-

ment les valeurs initiales de u, v et de leurs dérivées premières.

Mais on connait d'avance une intégrale du système (7), à savoir

du du dv dv (8) ee #) + 2r Te) + G cel const

Nous savons, en effet, qu’en prenant cette constante égale à l'unité, cette relation fait rentrer les relations (7) l’une dans l’autre. Il doit donc en être ainsi quelle que soit valeur de la constante, puisque les équations (7) ne changent pas quand on multiplie ds par

une constante arbitraire, ce qui revient à modifier la valeur de

ladite constante. Mais la variable s ne représentera l’arc de la géodé-

sique que si cette constante est prise égale à l’unité. Nous voyons donc que la condition nécessaire et suflisante pour que s représente l’arc d’une géodésique dans lintégration des équations (7), est que

les valeurs initiales soient liées par la condition

) (a) Cr ET F E, (+ un 270 ds ds He ds D

auquel cas la même condition restera satisfaite pour toutes les

valeurs de 5.

Si l’on peut trouver une seconde intégrale des équations (7)

renfermant une constante arbitraire, lintéoration du système s’achèvera par des quadratures. En effet, l'élimination de ds conduira à une relation du premier ordre entre w et v et une constante arbitraire, donc à une intégrale première de l'équation du second

ordre qui a lieu entre et v seuls, ce qui ramène au cas précédent.

4oi. Equations différentielles des géodésiques en coordonnées x, y. — Il est intéressant de considérer le cas particulier

où la surface est donnée par équation

Rey (Ga),

et de trouver l’équation des géodésiques en projection sur le plan xy. Ce cas revient au précédent en faisant # == x et v — y. Mais on obtient immédiatement les équations des géodésiques sous la

forme (7), au moyen des formules de Frenet PEL ORNE CRT

A5 CR PA mt Ici, R est essentiellement positif et À et x coïncident avec les cosinus directeurs X et Y de la normale à la surface, aux signes près. Ce signe est le même ou non suivant que le rayon de courbure de la section normale qui coïncide avec celui de la géodésique est considéré comme positif et négatif. On a donc, même en signe, R étant maintenant le rayon de courbure avec son signe de la

section normale de même tangente que la géodésique,

HEX RAA

Se MR 4 R° et, si l’on prend s comme variable indépendante et, par suite,

ds constant,

Gr) HEC RS AREUSERN

Ce ‘sont les équations des géodésiques sous la forme (7). Il n’y

a plus qu'à y remplacer X, YŸ et R par leurs valeurs connues

DV 2 Qi ans

VI+p + Vi1+p + TNA 25 UX di AE dy?

or FR ORNE

Îl ne faut pas perdre de vue que ds est l’arc de la géodésique ellemême, et non de sa projection : on a ds? — dx? + dy + de = (x + p') dx? + 2pqax dy + (1 + 9°) dy’. Pour former l'équation différentielle des géodésiques entre x et y seulement, il faut éliminer ds de l’une des équations (10). On arrive plus vite au résultat en combinant les deux équations entre elles. On en tire 6 Bda — adf EX — aY ee

œ a° Ra°

et en divisant par dx et remplaçant ads par dx,

d(dy\ . Xdy — ax [ds \ BXL AU AIO R dx Hi

Prenons x comme variable indépendante et accentuons les déri-

vées par rapport à x; l'équation différentielle prend la forme he G2) JA CON ESS

et enfin, en remplaçant X, Y et s’* : R par leurs valeurs ci-dessus,

D ARE Nr PARU:

c’est l’équation des géodésiques en projection sur le plan xy.

REMARQUE. — Proposons-nous de déterminer la relation qui lie l’angle de contingence d’un arc de géodésique à celui de sa projection. Cette relation se tire facilement de l’équation (12).

Soient s l’arc de la projection, et o l’inclinaison de sa tangente sur l'arc des x. Multiplions l'équation (12) par dx : (1 + y?) = dx : 5%; il vient

He y"ax ee }= nu (5) HE pose Ro aie CROSS

Mais (XB — Ya) est le cosinus de langle de la binormale avec

l'axe des z et est égal à g/1 — y? — Z?; d'autre part

( s Ÿ— ( ds Ÿ— ASS AS MEME o/ Ode? ds —d 1—Y Il vient donc | | ds MN y (4) NO RATES F Nr R Pour que l'angle de contingence ds : R de la courbe soit supérieur à celui dé : p de sa projection, il faut, d’après cette relation, que lon ait | | CLR ETAT E Cette condition sera toujours réalisée si l’équation

PEROU I a ses racines imaginaires Ou si Z > —, ce qui suppose que la nor-

male à la surface (la normale principale) fasse un angle inférieur à 60° avec l’axe des 7. Donc si la normale à la surface fait avec la normale au plan de projection un angle au maximum de 60°, la courbure totale d’un arc de géodésique ne sera jamais inférieure à celle de la projection de cet arc. Il est clair que cette proposition s’applique à la projection de n'importe quelle courbe, mais en considérant sa

normale principale au lieu de la normale à la surface.

402. Théorème. — Soit À un point donné sur une surface ; on peut

limiter autour de ce point une portion suffisamment petite de la surface

pour que les géodésiques issues de ce point ne se coubent pas entre elles.

Projetons la surface sur le plan tangent en À et prenons ce plan

comme plan des xy; l'équation de la surface pourra se mettre sous

Il suffit de démontrer que l’on peut décrire dans le plan xy un cercle de centre À, assez petit pour que les courbes qui sont les

projections des géodésiques issues de ce point À, ne se rencontrent

la forme

pas dans le cercle.

Je vais d’abord montrer que, si le cercle est assez petit, deux courbes de cette espèce infiniment voisines issues de À ne se couperont pas. Cette conclusion résulte du fait que l'équation différentielle de ces courbes est du second ordre.

D'abord on peut limiter, autour du point A dans le plan x, un cercle assez petit pour que Z reste aussi voisin de 1 que l’on veut sur la portion correspondante de surface.

La formule (14) du n° précédent montre que l’on rend ainsi de aussi petit que l’on veut, de sorte que l’on peut rendre aussi petite

que l’on veut la variation de direction de la courbe dans le cercle,

à condition de supposer ce cercle suffisamment petit. Par exemple, on peut faire en sorte que cette variation reste inférieure à 45°. Ceci fait, considérons une courbe particulière AB. Je vais

prouver qu’elle ne peut rencontrer la courbe infiniment voisine qu’à

. distance finie. En effet, nous pouvons choisir l’axe des x de manière que y’ garde une valeur finie sur la courbe, puisque sa direction ne varie pas de 45°. Alors, dans l’équation vérifiée par la courbe,