I 26 ST

+ DA UEN EeS 0 (a) me 2" M PRO EAS :

Lorsque ad est égal à un entier #1, cette formule, multipliée :

par m, s’écrira sous la forme 150 : te

pate |

ap M = L/ 27m — 4 ;

résultat qui a une grande importance dans le calcul des probabilités.

66. Remarques sur la série de Stirling. — La série (30) porte le nom de Sfirling qui Pa considérée le premier, mais sans faire connaître l’expression du reste. Celle-ci est due à Cauchy. La série de Stirling prolongée indéfiniment est divergente, quel que

: soit le nombre positif 4, car, en recourant à l’expression (3) donnée | au n° 48 des nombres de Bernoulli, on reconnaît facilement que

son terme général croît au delà de toute limite avec ».

Mais 1l est très remarquable que la série de Stirling, malgré sa divergence, fournisse un procédé très exact et très commode pour le calcul de Q{a); et Papproximation que l’on peut obtenir par cette voie est d'autant plus grande que « est plus considérable. Effectivement, cette série est ce qu'on nomme une série pseudo-convergente. Si d est considérable, les termes commencent par décroître très rapidement au début de la série, et la formule (30) montre que l’erreur commise est de même signe et inférieure en valeur absolue au premier terme négligé. On aura donc la plus grande approxima-

* tion possible en arrêtant la série au terme qui précède le terme minimum, et ce terme minimum sera lui-même une limite de l'erreur

commise.

67. Valeur asymptotique de D Log 1(4). — Si Pon dérive les formules (27) et (28), on en tire

(33) PA a nn Q'(a) al HO PCENT TA

Cu —0 En remplaçant dans cette intégrale f(X) par son développement (29), il vient, comme plus haut, 0 étant compris entre CHERE

/ B;, B, Bono 0B,, Q (a) Ho | 9 f FIRE PEN 2n — 2 2n° CHAN AU (21 — 2)d° 2na°"

Ce résultat coïncide avec celui qu'on obtiendrait en dérivant directement la série de Stirling. Cette nouvelle série est pseudoconvergente comme celle de Stirling et elle convient de la même

| manière au calcul approché de Q'(4) quand & est grand. Les formules précédentes fournissent le moyen le plus simple de calculer la constante C d’Euler. On tire de la formule établie au

n° $8, et pour 71 entier,

= D Log Fm),