Formation d’équations du premier ordre. — Soit une

équation (1) EGROEE 0 entre deux variables x, y est une constante arbitraire C. En la déri-

vant, on a (2) Ha

Vol. IL. 9

) 208 ARR, be PC LP LATE: Ra rh 4 et Ar a ar ;

Généralement cette équation renferme encore C ; mais si l’on peut

éliminer € entre (1) et (2), on obtient une relation

(3) fG, 7,7) =0, au moins aussi générale ; mais qui a lieu entre X, y et y seuls quel que soit C. C’est une équation différentielle. Elle exprime, par exemple, une propriété géométrique commune à toutes les courbes représentées par l’équation (1), C restant quelconque.

L’équation (1) qui renferme une constante arbitraire, s’appelle l'intégrale générale de l'équation (3). On voit ainsi que Pintégration d'une équation du premier ordre a pour effet d'introduire une constante arbitraire. La généralité de ce résultat sera établie dans le

paragraphe suivant.

Exemple. — Soit l'équation des coniques homofocales x” PARA Te EM AG Se

On en tire

Re A EG Ann RU nr ARR nt a CN COMME

et, en portant dans la première équation ces valeurs de x : (a + C) et y: (b + C). On obtient l'équation différentielle de ces coniques

Xe NT SDS ri COR je RS Te A el) 10. Formation d’équations du deuxième ordre. — Considérons maintenant une équation avec deux constantes arbitraires (4) F(x, Y, C; C:) —= 0.

Si l’on dérive une première fois, on obtient

Généralement il est impossible d'éliminer C, et C, entre (4) et (5), auquel cas il n’existe aucune relation sans constante arbi-

traire entre x, y et y’. On dit alors que les deux constantes :sont

1, x TU Age de SRE ge cé dl AU A Pa A Lee GA Es See MURS. ce ES RE RG Ne ER AR PE EG 1 nd . ne, vu VA ; vs \ NX m ù s; ) D 'reS ét PA ET % "Ya 1" u 1! À Ti F à l . 6 | Ÿ "e * ‘

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FORMATION DÉS ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES f3i

distinctes, et pour les éliminer, 1l faut dériver une fois de plus, ce qui introduit y”. L’élimination des constantes conduira donc à une équation différentielle du second ordre.

Pour former cette équation, on peut aussi faire l’élimination de proche en proche. On élimine d’abord une des constantes, C, par exemple, entre (4) et (5), ce qui suppose que (5) renferme encore les deux constantes sinon l'élimination serait toute faite. On a de la

sorte une relation

(6) DS y, 4", Co) 0,

qui renferme encore une constante arbitraire. Maintenant on peut éliminer C, entre (6) et sa dérivée, ce qui

fournit l'équation cherchée.

(7) baie D} — 0:

Celle-ci, qui ne renferme plus de constante arbitraire, a au moins la même généralité que les précédentes.

La relation (7) est la seule relation indépendante des constantes arbitraires (suppostes distinctes) qui puisse exister entre x, y, y et y”, car, s’il en existait une autre, en éliminant y” entre elles deux, on trouverait une relation sans constante entre x, y et y”, ce qui est contraire à Phypothèse.

L’équation (7) est une équation différentielle du second ordre ; équation (6) est du premier ordre, mais contient une constante arbitraire : c’est une intégrale première de l'équation (7). Enfin l'équation (4) qui contient deux constantes arbitraires est son intéorale générale.

On prévoit d’après cela que Pintégration d’une équation du second ordre doit introduire deux constantes arbitraires, ce qui sera

démontré rigoureusement dans le paragraphe suivant.

11. Formation d’équations d’ordre quelconque. — Ces résultats se généralisent aisément. Soit une équation avec 7

constantes

(8) F(x, LE Ci, Case. C) QUx 0.

Si on dérive 2 — 1 fois de suite, on forme (7 — 1) équations nouvelles et l’on à en tout 7 équations entre les 7 constantes et

x, Y, 3, "7". On dit que les constantes sont distinctes si l’élimi-

nation des # constantes entre ces 7 équations est impossible, ou s’il

n'existe pas de relation sans constante arbitraire entre X, y, 3”... 37". Mais, si l’on dérive une fois de plus, on a (# + 1) équations entre lesquelles on peut éliminer les 7 constantes, ce qui conduit à une FORAHONTENITE NA AU PEU

Pour former cette relation, on peut d’ailleurs faire lélimination de proche en proche. En éliminant C, entre F — O0 et sa dérivée,

on trouve

Nu RME CCS RAP ENE (0) De même, en éliminant C,-, entre /, = 0 et sa dérivée, AURA De CR CRT 0) Après 7 opérations analogues, on obtiendra (9) nes y; More y") eo D:

Cette relation est la seule qui puisse exister entre X, y, y”, 3" sans constante arbitraire, car s’il y en avait deux distinctes, On en déduirait une autre entre x, ,... }"—' seulement et les constantes ne seraient pas distinctes.

L’équation (9) est une équation différentielle de lPordre #. Les Equations "SuCcésSIvES. fais 7 0 Jose 0, 10/4 —< UPS ment chaque fois une dérivée de moins et une constante arbitraire de plus, sont des intégrales premières, secondes... (n — 1)" de l’équation (9). Enfin l’équation F — 0, qui a lieu entre x et y seuls et renferme 7 constantes arbitraires, est son intégrale générale.

On conçoit donc que l'intégration d’une équation de lordre 7 aura généralement pour effet d'introduire 7 constantes arbitraires, ce qui sera démontré rigoureusement dans le paragraphe suivant.

Exemples. — 1° L’équation générale des cercles

XP + 20x + 2bY%E c+, 0

contient trois constantes arbitraires. Leur équation différentielle sera donc du 3° ordre. Pour lPobtenir, dérivons d’abord deux fois de suite, il vient

CT ESS 6 Dre AU

Divisons par 4” et dérivons une dernière fois, on a

1 LES ON I ae Je F / DRE FAT) ; 9 72 DO Annee QUE OR FR te HAT 14e 2° L’équation générale des coniques étant

RTE ar V/px° + 24X + 1,

leur équation différentielle a été obtenue par Halphen comme il suit :

En dérivant deux fois, 1l vient

. px a q DAMES pr ur. 4 V re (2) +- A —— ——, y Sn :

px? ARE VU A (PAPE ER TAIRERR)E d’où 7 sa x? 1e 24X . r pe 1 (y) pi) a (: ) a) Hier ; |

Dans le cas de la parabole, p — 0; léquation se réduit au

4° ordre

Si l’on effectue les dérivations indiquées et qu’on chasse les déno-

minateurs, on trouve, pour l'équation différentielle des coniques,

40y FE 457" su SAN . 9y? LM — 0.

et, pour celle des paraboles,