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les courbes dont la tangente possède, au point de contact (x, y), la direction déterminée par cette équation.

La première question qui se pose est de savoir si le problème admet des solutions et combien il en admet. L'interprétation géométrique fait prévoir la réponse.

En effet, imaginons qu’une courbe intégrale, c’est-à-dire satisfaisant à l’équation y” — /(x, y), soit décrite par un point mobile. Dans chacune de ses positions successives, ce point marche dans une direction imposée par cette équation. On conçoit aisément que son mouvement sera déterminé de proche en proche, mais le point de départ reste arbitraire. Il existera donc une infinité de courbes répondant à la question, chacune d’elles étant déterminée par un de ses points considéré comme imiial. Par conséquent, il existera aussi une infinité d’intégrales ou de fonctions y satisfaisant à l’équation. Une intégrale sera déterminée par sa valeur initiale y, pour XX Mals Cette valetnnreste arpiirare

Les considérations précédentes sont dépourvues de valeur démonstrative, mais elles font nettement saisir la nature du problème. Elles facilitent lintelligence des démonstrations rigoureuses qui suivent et qui vont mettre en lumière les conditions sous

lesquelles ces conclusions sont exactes.

113. Existence et unicité de l'intégrale d’une équation du premier ordre. — L'existence et l’unicité de l'intégrale d’une équation différentielle ne peuvent se démontrer que moyennant certaines conditions. Nous allons introduire celle de’Lipschitz.

Coxprriox DE LipscHirz. — Soit f(x, y) une fonction continue dans un domaine D. Pour éviter toute obscurité, nous supposerons que ce domaine est limité par un contour convexe. Nous dirons que la fonction f(x, 1) satisfait à la condition de Lipschite relativement à y dans le domaine D, si l’on peut assigner une constante positive M telle que Pon ait, quels que soient les deux points (x, Y) et (x, y)

de même abscisse dans ce domaine,

ACC ON A SMAEN EEE a ee

hr à

La condition de Lipschitz sera réalisée, en particulier, si (x, y) admet une dérivée partielle /”, bornée dans le domaine D, car elle résulte alors de la formule des accroissements finis : M sera la borne supérieure du module de cette dérivée.

T'HÉORÈME D'EXISTENCE ET D’UNICITÉ. — Soil une équation différentelle de la forme normale [c'est-à-dire résolue par raphort à y']

| “uk @) 1JE NICE

St la. fonction f(x, y) est continue et satisfait à la condition de

Lipschuz relativement à y dans le domaine convexe D, et que l’on

désione bar (x, y.) un point intérieur du domaine. l'équation (à) admet le) 0 20 2 q F0 D]

dans ce domaine, une intégrale y — FX) prenant la valeur initiale y, DUT EX) éhcelie intecrale estrunique.

Ce théorème fondamental est la conséquence des trois suivants,

qui se démontrent sous ces mêmes conditions.

114. Théorème I. — Considérons deux courbes tracées dans le domaine D et passant par le point (x,, 34). Soient y et Y les ordonnées, fonctions continues de x, de ces deux courbes ; si ces deux fonctions ont des dérivées bornées et intégrables et satisfont à l'équation (à), sauf des erreurs respectives w et w, dont la somme des modules est < 2, on a,

dans l’intérieur du domaine D

DES AE Ai DE

En effet, on a, par hypothèse,

y —— on 3) + ü, (2)

4 =. ANS) EE y, ne | ji | 4 | Ne

et, par la condition de Lipschitz, RCE) ECS SIRE SN SES à Il vient donc, en soustrayant membre à membre les équations (2), (3) LA ARS An Es BE NE fu PRE Supposons d’abord que Y — y ne change pas de signe on n’en change qu’un nombre limité de fois entre x, et x. Posons

de sorte que l’on a, le signe ambigu ne changeant qu’un nombre limité de fois, | HER (NE) PT Sr YA SDS il vient à fortiori, par (3), u° < Mu + :, d’où Den ere e Mu ere

Les deux membres sont bornés et intégrables, car cette dérivée

n’est discontinue (avec ’) qu'en un nombre limité de points

où Ÿ —— y change de signe. Intégrons de x, à x (supposé > x):

et observons que 4, = 0; il vient

d'où, l'inégalité à démontrer

TARN (eMX—Mro — x),

Si xtétait SX on intéprerait dertax/ce qui DermuteER Xret x,,rét le théorèmerserait encore établi |

Si les deux courbes sont des lignes polygonales, comme on le supposera dans le théorème suivant, elles ne peuvent se couper qu’en un nombre limité de points, et Y — y peut changer de signe qu'un nombre limité de fois. Le cas général (dans lequel Y — y peut changer de signe et #” être discontinu une infinité de fois) se ramène à celui-là. Si l’on remplace les deux courbes par des polygones

inscrits dont les côtés tendent vers O, on commet une erreur

infiniment petite sur chacun des deux membres des équations (2);

le théorème s'applique aux deux polygones sauf une variation infini-

ment petite de &; il s’applique donc, à la limite, aux deux courbes.

15. Théorème II. —- Quelque pelit que soit = positif, on peut tracer dans le domaine D une ligne continue y = @(x), passant par le point (xs, Yo), telle que @'x) ait une dérivée intéorable et vérifie l'équation différentielle sauf une erreur w de module < +. Si : tend vers O, @(x) tend uniformément vers une intégrale F(x) de l’équa-

tion (1) ayant la valeur initiale y.

En effet, partageons le domaine D en éléments rectangulaires à suffisamment petits pour que loscillation de f(x, y) soit < < dans chacun d’eux. Partant alors du point (x,, y,) avec le coefficient angulaire /(X,, Y,), décrivons une ligne polygonale dont la direction ne change qu’à la rencontre des frontières des éléments +, la nouvelle direction étant fixée à chaque rencontre d’une nouvelle frontière par la valeur de f(x, y) au point de rencontre. Le polygone ainsi tracé, qui a ses sommets sur les frontières des rectangles 7, a une ordonnée y — @(x) satisfaisant aux conditions proposées.

Donnons maintenant à « une suite de valéurs tendant vers Ü; les fonctions © correspondantes se rapprochent indéfiniment les unes des autres, en vertu de la proposition I, et tendent, par conséquent, uniformément vers une limite F(x). Or on a, par hypothèse, pour

chaque fonction 9, g = JC, ?) +o, [ol <e;

dou, en intéorant de X 4x,

end “a LAC, ?) + | dx ;

ét, à la limite, « tendant vers zéro,

REXEL +| CAE

CA) Cette formule montre que F(x) est une fonction continue de

valeur initiale y, et, en la dérivant, que F(X) est une intégrale.

16. Théorème III. — L'intégrale F(x) de valeur initiale y, est unique dans le domaine D. Toute fonction y, de même valeur initiale, qui vérifie l'équation (x) avec une erreur de module <<, diffère aussi peu que l’on veut de F(x) sous la condition de supposer < assez petit ;

d'ure manière plus précise, on a, dans le domaine D.

re Ne (eMlz=%l 7x).

Cette formule s'obtient comme cas particulier de la proposition I, car l'intégrale F(x) vérifie l’équation (1) avec une erreur nulle: Il résulte évidemment de là que lintégrale de valeur initiale y, est

unique.

u7. Calcul approché de l'intégrale. — Les théorèmes Il et IT qui précèdent fournissent un procédé pour le calcul approché de Pintégrale ayant la valeur initiale 7.

Le théorème IIT permet d’assigner une valeur de +: qui assure le degré d’approximation désiré. Après cela, le théorème IT donne le moyen de construire un polygone pour lequel ce deoré d’approximation est obtenu.

Il y a lieu d'observer que l’on applique ici le théorème II sans connaître F(x). Pour pouvoir utiliser l’inégalité du théorème II, il faudra s'assurer que lintégrale inconnue y — F(x) ne sorte pas du domaine D. On devra donc restreindre en conséquence lintervalle dans lequel on fera varier X. Il est facile d’assigner a priori des bornes à la variation de la courbe intégrale, puisque l’on sait que

son coefhcient angulaire est compris entre + M.

Ç 3. Propriétés diverses de l'intégrale d’une équation du premier ordre

118. L'intégrale considérée comme fonction de sa valeur initiale. — Considérons encore l’équation diflérentielle

(@) y —J(x, }), où /(X, y) est une fonction continue dans le domaine D. Nous savons que, si cette fonction est lipschitzienne dans le domaine D, l’équation (1) admet une intégrale unique de valeur initiale y, pour X = %,. Si on fait varier y, alors que X, reste fixe,

cette intégrale est fonction de y,,; écrivons-la sous la forme (2) 7 = E(X, Jo).

Les théorèmes suivants vont faire connaître sous quelles conditions

cette intégrale F(xX, 3) sera une fonction continue ou dérivable de y,.

M PE ne Sn AP RES TUE 2) CE SRI Léa ENT de CAL it VER QU 9 PS ES

119. Théorème I. — S; f(x, y) est continue dans le domaine D et lipschilzienne en y avec la constante de Lipschitz M, lintégrale y est fonction continue de y, et les accroissements correspondants Ay et AY, satisfont à la relation

PAye |Ay hate.

Remarquons que y + AÀy — Ay, est une fonction de même valeur initiale 7,, que l’intégrale 7, qu’elle vérifie équation CRE (pe A) EPA) et satisfait, par conséquent à l’équation (1) sauf l'erreur LAC EAN) — fe, y + A — AT < MAY ke La différence des deux fonctions, à savoir CO + AY — 47) — y — AY — AY, doit donc satisfaire, en vertu du théorème IIT du n° 116, à l’inégalité Dan D Sn AL CAE) Si | Ay est & | A7, | , le théorème est vérifié. Supposons donc PAY = A y ..auquel cas |Ay— AY, [ST AyI— ay}, il vient a fortiori