Cours d'analyse infinitésimale

Le texte de cette troisième édition a été revu avec le plus grand soin et nous lui avons apporté un grand nombre d'améliorations de détail. Toutefois nous ne signalerons ici que les modifications les plus importantes.

En ce qui concerne la partie élémentaire ou le grand texte, nous avons abandonné l'ancienne définition de la différentielle totale et adopté celle de Stolz (*). La supériorité de cette définition a été mise en lumière par les travaux de MM. S, Pier- PONT (**), Frécheï (***) et surtout W. H. Young (****). Elle est indiscutable ; les théorèmes découlant plus directement des principes, la théorie de la différentiation des fonctions explicites et implicites devient plus serrée et, par le fait, plus satisfaisante. Signalons encore que nous avons précisé les démonstrations relatives aux applications géométriques en introduisant les hypothèses de continuité ou de dérivabilité au fur et à mesure de leur nécessité seulement.

Passons maintenant aux théories plus élevées données dans le petit texte. Nous avons rejeté dans l'introduction et simplifié la théorie de la mesure des ensembles qui embarrassait précédemment le chapitre relatif aux intégrales définies. Nous avons refondu tout entière la théorie de l'intégrale de Lebesgue, mais nous avons conservé le procédé que nous avions introduit précédemment j)our remonter de la dérivée à sa primitive. Plusieurs

(*) Stolz. Griinztige der DifferentiaL iind Intégral- Rechnung, 1. 1, Leipzig j

(**) J. PlERl>ONT. Theory of fonctions of real variables, t. I, Boston ; igoS.

("*) M. Fréchet. Sur la Notion de différentielle totale. Nouvelles auuales de luatliématiques, 4'^' séi'ie, t. XII ; xyi^*

(****) W. H. Young. The fundamental theorems of Differential Calculas^ Cambridge, 1910.

AVERTISSEMENT DE LA TllOISIEME EDITION

années d'expérience et nos recherclies personnelles nous ont suffisamment montré ses avantages et sa fécondité. Aussi bien son utilité apparaîtra-t-elle dans deux paragraphes nouveaux, l'un consacré au problème du changement de variable dans une intégrale définie, problème qui paraît recevoir ici sa solution définitive, l'autre consacré à la reclierche de la primitive d'une dérivée seconde généralisée, question fondamentale dans la théorie des séries de Fourier.

Nous avions donné, dès notre première édition, une démonstration très intuitive du théorème de Jordan sur les courbes fermées. On lui a reproché de n'être qu'indiquée (*). Parmi d'autres, ce reproche est le seul qui nous ait paru réellement fondé. C'est pourquoi l'on trouvera dans cette édition la démonstration développée dans tous ses détails. Pour éviter toute équivoque, il convient d'ajouter que nous considérons tous les termes de cette démonstration comme susceptibles d'un sens purement arithmétique.

Puisse ce livre inspirer le goût de la réflexion et rendre service aux jeunes gens qui désirent approfondir les principes de l'Analyse.

Louvain, le 12 septembre iQiS.

(*) Encyclopédie des sciences wathématignes. t. II, v. I. p. 100.