II. spirale logarithmique : r = ae'"^^- On a
I Cf ^ Cl
Vt +
Donc : i'^ La spirale logarithmique coupe le rayon vecteur sous un angle constant [j. ; 2° les points T et N (fig. 6) décrivent des spirales
semblables à la proposée ; 3° la podaire a pour équation
p ^ , — — = aie'""' \/i + m^
et c'est aussi une spirale semblable à la proposée. Exercices.
1. Tangente, normale et segments correspondants pour l'hyperbole rapportée à ses asymptotes : xy ^ a^.
2. Dans un cercle de rayon a, on mène un diamètre OO' et la tangente à l'une des extrémités O'. Par l'autre extrémité O, on mène une sécante quelconque coupant le cercle en P et la tangente en Q. On retranche de OQ un segment OM égal à OP. Le lieu du point M est une cissoïde de Diodes. Trouver son équation, la tangente, la normale, etc.
R. On prend O comme pôle, 00' comme axe polaire. L'équation est, en coordonnées polaires,
r ^=2a (sec 0 — cos 6) :
et, en coordonnées cartésiennes,
yZ ^x'^ : {2a — x).
3. Un cercle de rayon a roule sur une droite OX ; un point fixé à ce cercle décrit une cycloïde allongée s'il est intérieur au cercle, une cycloïde raccourcie s'il est extérieur. Trouver les équations de ces courbes, la tangente, la normale, etc.
R. Conservons les notations du no 283 {\). Soit, en plus, h la distance du point décrivant au centre du cercle. On a
X ^= at — h sin t, y = a — h cos t.
La normale à la courbe passe encore par le point de contact du cercle et de la droite.
4. Un cercle de rayon b roule extérieurement sur un cercle de rayon a. On considère trois points, M, M' et M", fixés au cercle mobile, le premier sur la circonférence, le second dans l'intérieur, le troisième à l'extérieur du cercle. Le point M décrit une épicycloïde, le point M' une épicycloide allongée, le point M" une épicycloïde raccourcie. Trouver les équations de ces courbes, la tangente, la normale, etc.
R. Prenons pour origine le centre du cercle fixe, pour axe des x le diamètre passant par le point décrivant au moment où ilest le plus près du centre fixe. Soient h la distance du point décrivant au centre mobile et t l'angle dont a tourné le rayon vecteur mené du centre fixe au point de contact. On aura
i x = {a-\-b) cos / — h cos f — 7 — t j, f J = (^ + ^) sin t — h sin ( — — t )• La normale passe par le point de contact des deux cercles.
LONGUEUR d'un ARC. INCLINAISON DE LA TANGENTE 3o3
5. Même problème, le roulement se faisant intérieurement. Les courbes sont alors des hypocycloUes.
R. Leurs équations s'obtiennent en changeant dans les précédentes h en — ^ et è en — b. On a
( X ^{a — b) cos t -\- h cos f — r — t \ I ^ {a — b) s'm t — h sin f — 7 — t )•
6. La cardiolde (courbe en forme de cœur) est l'épicycloïde engendrée par le roulement de deux cercles de même rayon a. Si l'on prend pour pôle le point décrivant au moment où il coïncide avec le point de contact, l'équation de la courbe est, en coordonnées polaires,
r = 2rt (i — cos 0).
Déterminer les éléments de cette courbe et sa podaire. R. On trouve
;j. = a=^-, S^=ytg-, S^^ = 2« sîn 6,
T' = r : cos -, N' == >' : sin -, * = rsm-.
La podaire a pour équation
p = 4a sin^ T.
7. Podaire d'une circonférence de rayon a par rapport à un point de la courbe.
R. La courbe est une cardioïde (Exercice précédent).
8. Podaires de la parabole par rapport : i" au foyer ; 2° au sommet. R. La première est la tangente au sommet ; la seconde une cissoïde
(Exercice 2).
§ 2- Longueur d'un arc de courbe plane. Inclinaison de la tangente.
286. Longueur d'un arc de courbe plane. — Considérons une courbe
rapportée à des axes rectangulaires. La longueur s d'un arc compris entre les points dont les coordonnées sont .x* = a, y =: /"(a) et A- = b. y = f{b), est, par définition, la limite du périmètre d'un polygone inscrit, dont les sommets se suivent dans un sens déterminé, lorsque le nombre des cotés augmente indéfiniment et que chacun des côtés tend vers zéro.
3o4 CHAPITRE VIJI. COURBES PLANES
Nous allons montrer, en admettant cxue f(x) a une dérivée continue f'{x), que cette limite est déterminée et s'exi^rime par une intégrale définie.
Prenons, à cet effet, sur l'arc considéré, n + i points (y compris ses extrémités) et désignons les coordonnées de l'un quelconque d'entre eux par Xi et yi, de sorte que, les abscisses étant numérotées par ordre de grandeur, Xy et j, seront les coordonnées a et f{a) de l'origine, Xn+i et y'n+i les coordonnées b et f{b) de l'extrémité.
Inscrivons le polygone qui a ces (n + i) points pour sommets. Le coté Ci qui joint {Xi, yi) à (a.-;-(i, yi+i) a pour mesure
Mais la formule des accroissements finis donne, Çj étant inter médiaire entre a\ et Aj+i ,
Yi+i — yi ■-- f'i^i) {xi+i — Xi).
Il vient donc
Ci --= {Xi+i — A-,) \li-\-f'{^.
Lorsque les côtés du polygone tendent vers zéro, les différences Xi-^i — • Xi tendent aussi vers zéro. 11 vient
s -- lim îci = lim 2 {Xi+^ — a\) VTT?X^5^
Cette limite est, par définition (n° 220), une intégrale définie : nous avons donc, en définitive,
dxsji
Ja
L'opération qui consiste à calculer la longueur d'un arc s'appelle rectification. Xous reviendrons sur ce problème au chapitre X et nous en donnerons des exemples.
287. Dérivée et diflFérentielle d'un arc de courbe. — Considérons maintenant, sur la courbe
un arc variable s, compté depuis une origine fixe a = a, y = f{a) jusqu'à une extrémité mobile a, v- Cet arc sera mesuré par l'intégrale
(1) I \îx\/7~-rf{xY---= \ "viT7^
LONGUEUR d'un ARC. INCLINAISON DE LA TANGENTE 3o5
Nous avons établi cette formule eu regardants comme essentiellement positif, nous avons implicitement supposé oc > a et le radical pris positivement. Mais, pour la généralité de la formule, il convient de considérer s comme susceptible d'un double signe, suivant le sens dans lequel on compte cet arc.
Nous conviendrons de prendre le radical positivement dans la formule (1), de sorte que s sera positif pour .v > a et négatif pour X < a. Cela revient à regarder l'arc comme positif dans le sens où A' croît et comme négatif dans le sens contraire. Si l'on prenait le radical négativemeut, la conclusion serait inverse.
Dérivons la formule (1), il vient
(2) s' =^ = \/i-^ y'-', ds = dx\/i + y' et, en remarquant que dy = y'dx,
(3) ds = \/dx'' + dy"^.
Considérons une représentation paramétrique de la courbe, X = ci{t), y = 4/(0 ; soient .v' et y' les dérivées de x et de y par rapport à t ; d'où dx = x'dt, dy = y'dt ; il vient
(4) f/s = dfV^" +r''•
Nous conviendrons de prendre ce radical positivement, c'est-àdire de considérer s comme croissant dans le même sens que t. Enfin on passe facilement des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires par les relations x^ r cos 0, y = r sin 9, d'où
dx = dr cos 9 — r sin 0 f79, dy = dr sin 9 -f i' cos 9 d^. On trouve ainsi, r' désignant la dérivée dr : (Z9,
(5) ds = \Jdr' + r'^d92 = d9 V^' + r"'.
ds^ d9
(6) ^==Vi'^+^-'^
Nous conviendrons de prendre ce dernier radical positivement, c'est-à-dire de considérer s comme croissant dans le même sens que 9.
288. Théorème. — Le rapport d'un arc infiniment petit à sa corde a pour limite l'unité
En effet, soient As la longueur de l'arc, ^x et Ay les différences des coordonnées des extrémités. La corde c a pour me-
3o6 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES
sure sj^x^ + Aj-. Ces quantités tendant vers zéro, on a donc As
, . As , . Aa;
lim — = lim-
289. Inclinaison de tangente. — Soit cp l'angle de la tangente à la courbe y = f{x) avec l'axe de .v. Les axes étant rectangulaires, le coefficient angulaire de la tangente est égal à tg cp. Il vient donc
(7) tgî=,r'^g.
On en déduit (la tangente étant menée dans le sens où x et s croissent simultanément)
icp
Vi + r" * ■ ' VI + r" *
Eemplaeons y' et s' par dy : dx et ds : dx ; nous tirons des relations précédentes les formules très employées
(8) dx = ds cos cp, dy = ds sin œ.
Ces deux dernières formules supposent seulement la tangente menée dans la direction où s va en croissant.
§ 3. Sens de la concavité (*).
Points d'inflexion des courbes planes.
290. Sens de la concavité. — Soient y = f{x) l'équation d'une courbe en axes rectangulaires ou obliques, et M un point de la
courbe où la tangente MT n'est pas parallèle à l'axe des y (fig. 7). Si la courbe ne traverse pas sa tangente au point M, elle sera, au deçà et au delà du point M, située du même Fig. ;. côté de la tangente MT (au
moins dans le voisinage du point M). On dit que la courbe tourne, au point M, sa concavité du côté des y positifs ou du
(*) Les théorèmes du § 4 du chapitre YIII fouriiisseut une géuéralisation des résultats ici obtenus.
SENS DE LA CONCAVITÉ. POINTS d'iNFLEXION SoJ
côté des y négatifs, suivant que la courbe se trouve par rapport à la tangente du côté des j positifs ou du côté des y négatifs.
Supposons les dérivées des deux premiers ordres, f'{x) et f"(x), déterminées et continues dans le voisinage du point M ; nous aurons le théorème suivant :
La courbe y^ --= f{\') tourne sa concavité du côté des y positifs ou du côté des y négatifs, suivant que la dérivée seconde, f"{x), est positive ou négative au point considéré.
En effet, l'un ou l'autre de ces deux cas se présente suivant que l'ordonnée de la courbe est plus grande que l'ordonnée de la tangente ou plus petite que cette ordonnée dans le voisinage du point M (aussi bien au deçà qu'au delà de ce point). Donnons à X un accroissement positif ou négatif ^x = dx. L'accroissement de l'ordonnée de la courbe sera Ay, l'accroissement correspondant de l'ordonnée de la tangente sera dy (n<^ 94). Le sens de la concavité dépend donc du signe de la différence
Ar - dy ;
elle sera du côté des }• positifs si cette différence est positive, du côté des y négatifs si cette différence est négative (le signe de dx devant rester arbitraire). Mais la formule de Taylor (n° 117) nous donne
^.V = dy + 1 (f/-' y),.+ o^x = ^ly r \ f"{x 4- Mx) dx\
Si f"{x) n'est pas nul, f"{x 4- ^dx) sera du signe de f"{x) à condition que dx soit suffisamment petit ; ensuite dx- est essentiellement positif. Donc Ay — ^3^ sera du même signe que f"{x). La courbe sera située au-dessus ou au-dessous de sa tangente, de part et d'autre du point M, selon que f"{x) sera > 0 ou < 0.
291. Points d'inflexion. — Par définition, ce sont ceux où la courbe y = f{x) traverse sa tangente (*). Si la dérivée f"{x) existe, un tel point ne peut se rencontrer, en vertu du tliéorème précédent, que si f"{x) -^ 0. Donc les abcisses des points cV inflexion sont racines de l'équation f"{x) = 0.
y*) Dans la théoi'ie de courbes algébriques, on définit ordinairement les points d'inflexion par la condition /"" (.\) :-^ 0 elle-même. Les deux défilions ne sont ]>as é(]uiv:ilentes.
3o8 CHAPITRE YIII. COURBES PLANES
Ainsi, pour trouver les points d'inflexion, on cherchera les racines de cette équation. Mais toute racine ne donne pas un l)oint d'inflexion. Pour qu'un point M où la tangente n'est pas parallèle à l'axe des y soit un point d'inflexion, il faut que l'ordonnée de la tangente MT surpasse celle de la courbe d'un côté du point M et que l'inverse ait lieu de l'autre côté. Il faut donc que Ar — dy change de signe avec dx.
Les dérivées première et seconde étant supposées continues, on a
^y-dy=^f"{x+Mx).
Pour que .v soit l'abscisse d'un point d'inflexion, il faut que f"{x + 0(/oc) change de signe avec dx. De là, le théorème suivant : Les points d'inflexion de la courbe y == f{x) sont ceux où f"{x) change de signe,
Supposons qu'une valeur x annule f"{x) et toutes les dérivées suivantes jusqu'à l'ordre n exclusivement : la formule de Taylor donnera
A y - dy - ^ /^»') {x + ^idx).
La dérivée /iiè»ie r^ maintenant un signe indépendant de celui de dx supposé suffisamment petit. Les changements de signes dépendent donc uniquement du facteur ^a;". Celui-ci ne change de signe avec dx que si n est impair. De là, la règle suivante : Pour qu'une racine de f"{x) donne un point d'inflexion, il faut que la première des dérivées d'ordre supérieur au second qui ne s'annule pas en même temps que f"{x), soit d'ordre impair.
% 4. Courbure et développée d'une courbe plane.
