III. Hyperbole :— r — 4t = i- On trouve
Tangente:^-^ = i[; o a^ 6- '
Normale : ^ + -^ = a^H-^^ =-- c^.
IV. Logarithmique : y = ae'**'^. La sous-tangente est constante. On trouve, en effet, par la première des formules (17),
V. Cycloide. — La cycloïde (fig. 5) est décrite par un point M de la circonférence d'un cercle de rayon a qui roule sans glisser sur une droite fixe OX. Prenons cette droite pour axe
des .Y, pour axe des r la perpendiculaire menée par le point y décrivant au moment où
■B I> il se trouve sur OX. Con-
sidérons une autre position du cercle générateur.
Soit OA la quantité dont r X ^^ point de contact s'est
Fig. 5. déplacé sur l'axe des x.
D'après la définition du roulement, il s'est déplacé de la même quantité sur le cercle. Donc l'arc AM entre le point de contact et le point décrivant est égal à AO. Cela posé, soit t l'angle variable des rayons CA et CM. Exprimons a' et y en fonction de t. Nous avons OA = AM ^ at : d'où
I a: = OA — MQ = a{t — sin t), \ y = AC — QC = a(i — cos t).
Ces équations fournissent une représentation paramétrique de la cycloïde. Elles montrent que la cycloïde se compose d'une suite illimitée d'arcades égales, situées au-dessus de OX, ayant respectivement pour hauteur le diamètre 2a, et pour base la circonférence 2371 du cercle générateur.
Nous avons, dans le cas actuel,
x' = a (i — cos t) = y, y' = a sin t, et la valeur de la sous-normale s'en déduit :
Sn
a sin t.
Donc S„ est égale à la projection du rayon MC sur l'axe des X et, par conséquent, la normale passe par le point de contact du cercle générateur avec cet axe.
284. Podaire d'une courbe plane. — On appelle podaire d'une courbe par rapport à un point O le lieu géométrique du pied de la perpendiculaire abaissée de ce point sur la tangente.
Supposons que la courbe ait pour équation F{x, y) = 0. Pour trouver celle de la podaire par rapport à l'origine, il faut éliminer a et y entre l'équation de la courbe et les deux suivantes :
(i - A") F; + (r. -y)K- 0, IF'^ - t^F; = 0,
ÏANGENfE ET NÔRMALIÎ 299
qui sont celles de la tangente et de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la tangente. La relation qui en résulte entre ^ et ■r\ est l'équation de la podaire.
Exemple. Les courbes de Lamé ou courbes triangulaires symétriques ont pour équation
Les équations de la tangente et de la perpendiculaire issue de l'origine sont :
|/^Y«-' iri^/'vY«-i a^ b-n
a\^aj '^ b\^bj " ^ ' . f^\"-' ~ fy Y'' '
On tire de la seconde, par les propriétés des fractions égales,
m ni m—i
^2jfZ'! = r^^fMlM^-]^
i(:-r+Kir1(0"+ftr J
L'élimination de x et y est donc immédiate. La podaire par rapport à l'origine a pour équation
jn m m
Uellipse et Vhyperbole en particulier, qui ont pour équations :
auront pour podaires par rapport au centre :
(Ï2 + ^^2)2 = (^ï)2 + (ÔTj)2, (^2 + 7^2)2 =: (a^)^ - (èTl)2,
car on passe de l'ellipse à l'hyperbole par le changement de b en bi. Si l'hyperbole est équilatère, ^ = è ; sa podaire devient
C'est une lemniscate de Bernoulli, dont ré([uation en coordonnées polai res est r- = a'~ cos 2^.
285. Coordonnées polaires, — Soient r et G le rayon vecteur et l'argument d'un point du plan ; une courbe plane peut aussi être définie par une relation,
F(r, e) = 0, entre les coordonnées d'un quelconque de ses points. Nous supposerons généralement que cette équation peut être résolue par rapport à r. L'équation de la courbe prend. alors la forme
jS'ous supposerons /"(O) dérivable et nous désignerons sa dérivée par r' .
Soient r et G les coordonnées d'un point particulier M de la courbe (fig. 6). Menons la tangente en ce point. Abaissons du pôle la perpendiculaire OP sur la tangente. Soient p la longueur de cette droite et a l'angle qu'elle fait avec l'axe OX. L'équation de la tangente, en coordonnées courantes p, T, sera
p cos (t — a) == p.
Il s'agit de déterminer a et p. La tangente passant par les Ijoiuts {r, 0) et (r -|- dr, 0 -j- dO), on a les deux équations :
r cos (9 — a) = p, cl. r cos (9 — a) =- 0.
On tire de la seconde, divisée par f79 ;
d'où
cos (t — a) cos [{- — 8) 4- (0 — a)] , ûx r' . , ,,
7û i = ^^ À — "T - — = cos(t — 0) sin(T— 9).
cos (9 — a) cos (9 — a) ^ / ^. v /
L'équation de la tangente au point (r, 9) devient donc, par l'élimination de a et p,
(19) £ = cos(T-9)-^sin(T-9).
Soit p. l'angle du rayon vecteur OM avec la tangente menée dans le sens où 9 va en croissant. Cet angle est le complémentaire de (9 — a). Comme il est compris entre 0 et tc, il est complètement déterminé par la formule
(20) tgî. = -^.
La sous-tangente S^ et la sous-normale Sj^ en coordonnées polaires sont les valeurs algébriques des segments OT et OX (fig. 6) compris, sur la normale au rayon vecteur, entre le pôle et la tangente ou la normale. On a
(21) Si = ^. Sk = r'.
TANGENIE ET NORMALE 3oi
Les segments ainsi calculés auront le signe de tgfx. On voit facilement qu'ils seront positifs ou négatifs, suivant qu'il faut faire tourner le rayon OM d'un angle droit dans le sens positif ou dans le sens négatif pour l'amener dans la direction de ON.
La tangente T' et la normale N' en coordonnées polaires sont les portions MT et MN de la tangente et de la normale comprises entre le point M et la perpendiculaire NOT menée par l'origine au raj'on vecteur. Leurs expressions, qui doivent être prises positivement, sont
(22) T' = -— = ^V^ + ^^ N' = V— =V^"^^"^ cos [j. r sin [jl ^
La perpendiculaire abaissée du pôle sur la tangente a pour longueur /) et pour inclinaison a ; on a
En éliminant 0 entre les deux équations p = p et t = a, où les seconds membres seront exprimés en fonctions de 8, on obtiendra, entre p et t, l'équation de la podaire de la courbe par rapport au pôle.
Applications. — I. Spirale d'Ai'ckiinède : r ^= a^. On a
Donc, dans la spirale d'Aichimède, la sous-normale polaire est constante et la sous-tangente au point {r, 0) a même longueur qu'un arc de cercle de rayon r et d'ouverture 6. En particulier, la sous-tangente au premier point où la spirale recoupe l'axe polaire a même longueur que la circonférence décrite avec le rayon vecteur de ce point
(ARCmMÈDE).
-- r cos (9 —
sjr
9 — arc tg
