COURBURE ET DÉVELOPPÉE 30Q
gentes extrêmes ; coiirbiive moyenne, le rapport do cet angle à la longueur de l'arc ; courbure au point M, la limite vers laquelle tend la courbure moyenne quand le point M' se raj)proclie indéfiniment du point M.
Désignons par As et Acp les accroissements de la longueur de l'arc et de l'inclinaison de la tangente quand on passe du point M au point M'. La courbure de l'arc ]MM' sera Az», sa courbure moyenne ^f : As et sa courbure au point M
As ds
Xous remarquerons, pour commencer, le théorème suivant : Dans un cercle de rayon R, la courbure est la même en chaque point et égale à i : R,
En effet, l'angle au centre correspondant à l'arc MM' est le même angle Acp que celui des tangentes extrêmes ; donc la longueur As de l'arc MM' est R A^. La courbure moyenne est, par conséquent, égale à i : R, quel que soit l'arc MM'. Passant à la limite, on voit que la courbure sera aussi égale à i : R en chaque point.
293. Rayon de courbure. — La courbure étant uniforme dans le cercle, il est naturel de comparer les autres courbes à un cercle sous le rapport de la courbure. Ou a^Dpelle rayon de courbure d'une courbe au point M, le rayon du cercle qui a même courbure que la courbe en ce point. Comme, dans le cercle, le rayon est l'inverse de la courbure, on a le théorème suivant ;
Le rayon de courbure d'une courbe quelconque au point M est égal à l'inverse de la courbure en ce point.
Le rayon de courbure se désigne par R, on a donc
Supposons les axes rectangulaires. Les accents désignant des dérivées par rapport à x, on a (n° 289) cp =■ arc tg y' ; d'où, en
dérivant,
D'autre part, on sait (n'' 287) que
(3) s' = Vi+r^
Substituant ces valeurs, il vient
ds s' (i + j'2)|-
(7cp 1^' y"
Cette formule comporte l'extraction d'une racine carrée. On convient de considérer U comme essentiellement positif et l'on choisit en conséquence le signe du radical. Ce signe doit être celui de y", ce sera donc -f- ou — selon que la courbe tourne sa concavité du côté des y positifs ou du côté des y négatifs (n'' 290).
On remarque qu'en un point d'inflexion où y" est nul, le rayon de courbure devient infini.
294. Cercle osculateur ou de courbure. — Le cercle osculateur en un point M d'une courbe plane est Ui limite d'un cercle passant par le point M et deux autres points M' et M" de la courbe qui se rapprochent indéfiniment du premier.
Supposons encore que la courbe ait pour équation en coordonnées rectangulaires
f(x) ayant des dérivées continues des deux premiers ordres.
Soient x, x^ et Xz les abscisses des points M, M' et M", a et [B les coordonnées du centre, et R le rayon du cercle qui passe -psur ces trois points. Posons, y désignant la fonction f{x) et a, (3 et R des constantes,
(5) F{x) = {x-aY^{y-[iY-n\
Les équations qui expriment que les trois points M, M' et M" sont sur le cercle sont :
F(a-) - 0, F{x,) ^ 0, F(.Vo) = 0.
Mais alors, en vertu du théorème de Rolle, F'{x) a une racine i entre x et x^ et une autre racine ^' entre .r, et x^. Pour la même raison, F"(.\) a une racine ^i entre l et ^'. Les éléments a, (3 et R du cercle ^Dassant par M, M' et M" vérifient donc les trois équations :
F{x) = 0, F'(^) = 0, F'%) = 0. Passons à la limite. Quand a;, et x^ tendent vers x, il en est de même de i et ^j. Les éléments a, {3 et R du cercle osculateur sont donc déterminés par les trois équations :
COURBURE ET DEVELOPPEE 3ll
En les développant, il vient
Ces équations fournissent des valeurs déterminées pour les éléments du cercle osculateur, pourvu que y" ne soit pas nul. Les deux dernières déterminent les coordonnées a et (j du centre, car on en tire
(7) P-r = ^, ..v = -îlL+r3.
Portant ensuite ces valeurs dans la première équation, il vient
Cette formule est la même que (4). Donc le rayon du cercle osculateur est égal au rayon de courbure. C'est pourquoi le cercle osculateur s'appelle aussi cercle de courbure et son centre, centre de courbure.
Les formules (7) peuvent s'écrire sous une forme plus condensée. Si l'on tient compte de l'équation (2), on a
,-^ Q I dx y' dy
^ ^ '^ -^ (f' d^' " f f/cp
ds Ces formules sont analoi>'ues à R = -,— , mais elles ont lieu ^ df
sans ambiguïté de signe.
295. Théorème. — Le centre de courbure Z relatif au point M se trouve sur la normale au point M à l'intersection de celle-ci avec une normale infiniment voisine.
En effet, x et y étant les coordonnées de M, la seconde des équations (6), à savoir
exprime que le point Z de coordonnées a, (3 est sur la normale au point M. De même, x^ étant l'abscisse du point M', l'équation E'(a'i) =- 0 exprime que le point Z est sur la normale au point M'. Mais alors, suivant le théorème de Rolle, F"(a-) s'an-
3l2 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES
nule en im point ^ intermédiaire entre .y et\\. Les coordonnées a, p de l'intersection des normales en M et M' vérifient donc les deux équations :
Faisons tendre M' vers M, ^ tend vers .v, et, à la limite, les deux équations précédentes reproduisent les deux dernières équations (6) qui déterminent les coordonnées du centre de courbure.
296. Position du rayon de courbure. — Le rayon de courbure a été considéré jusqu'ici en grandeur seulement. Il est souvent commode de le définir en grandeur, position et sens. On appelle alors rayon de courbure le vecteur MZ mené du point M au centre de courbure correspondant. Le rayon de courbure est donc dirigé suivant la normale au point M du côté où la courbe tourne sa concavité.
297 . Relation entre le rayon de courbure et la normale. — La longueur de la normale, considérée au n'^ 282 a pour expression ± y Vi +• y''. Il en résulte que l'on a, au signe près,
Précédemment X a été considéré comme positif ainsi que R. Mais nous allons faire en sorte que l'équation (10) subsiste même en signe. Il faut pour cela donner un signe à X, à savoir le signe -f- si N est du même côté de la courbe que R, et le signe — s'il est du côté opposé.
En effet, le second membre de l'équation (10) a le signe de — yy". Il sera positif si y et y" sont de signes contraires, alorSy la courbe tournant sa concavité vers l'axe OX (n° 290), Iv et X sont du même côté de la courbe. L'inverse aurait lieu dans le cas contraire.
298. Développée et développante. — Si le point M se déplace sur la courbe, le centre de courbure correspondant Z se déplace en même temps. Le lieu géométrique du centre de courbure se nomme développée. Par opposition, la courbe génératrice se nomme développante.
COURBURE ET DEVELOPPEE 3l3
On obtient immédiatement une représentation paramétrique de la développée. Elle est fournie par les équations (7), qui donnent
et qui expriment les coordonnées d'un point a, [3 de la développée en fonction du paramètre A'. En éliminant .v entre ces deux équations, on met l'équation de la développée sous la forme F(a, P) ^ 0. Mais il est souvent tout aussi avantageux d'envisager la développée sous la forme (11).
La développée jouit de propriétés remarquables, que nous allons démontrer.
I. Le rayon de courbure en M touche la développée au centre de courbure Z correspondant.
Considérant v, a et ^ comme fonctions de x, on a (6'')
Dérivons totalement cette équation. La somme des termes provenant de la variation des lettres x et y est nulle en vertu de la troisième équation (6) ; il reste donc
(13) a'-py = o, d'où ^ = -y'
Donc la tangente en Z à la développée, qui a pour coefficient angulaire ^' : a', est parallèle à la normale en M à la développante (donc au rayon de courbure), qui a pour coefficient angulaire — I : y'. Par suite, ces droites, ayant le point Z commun, coïncident.
II. L'arc de la développée est égal à la différence de longueur des rayons de courbure tangents à ses extrémités.
Considérant y, a, (3 et R comme fonctions de x, on a (6^)
Si l'on dérive totalement cette équation, la somme des ternies provenant de la variation des lettres .v et y est nulle en vertu de la seconde équation (6) ; il reste donc
(.V - a)a' -f {y - ^)[i' = - RR'.
D'autre part, en éliminant y' entre (12) et (13), il vient
3l4 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES
Eésolvant alors ces deux dernières équations par rapport à a' et t^', on trouve, en observant que le déterminant du système est W,
Ajoutons ces deux équations élevées au carré et observons que a'- + ^'^ est le carré de la dérivée de l'arc de la développée. Si l'on désigne cet arc par a, il vient a'- = H'-, d'où
Le signe à choisir dépend du sens dans lequel on compte l'arc <y. Comptons-le dans le sens où K croît, ce qui suppose que R varie constamment dans le même sens dans l'intervalle considéré des valeurs de ^c, nous aurons R' = a'. Donc R et a, Shyânt même dérivée, ne diffèrent que par une constante dans cet intervalle.
Considérons (fig. 8) un arc MoM de la développante compté depuis un point fixe Mo d'abscisse .Vo jusqu'à un point variable M d'abscisse x. Sux^posons que le rayon de courbure varie constamment en croissant quand on se déplace sur la courbe de Mo vers M. Soit ZqZ l'arc correspondant de la développée, de sorte que MqZo et MZ sont les rayons de courbures Ro et R des points Mo et M. Désignons par a l'arc ZqZ, nous aurons
Pour A- = A'o, cette relation donne Ro = C, nous obtenons donc la relation à démontrer :
ff = R — R©.
Xous avons supposé dans cette démonstration que la variation de R était toujours de même sens ; le tliéorème tomberait en défaut si R passait par un maxime ou un minime.
Remarque. — Les formules (14) mettent en évidence que toute courbe plane dont le rayon de courbure est constant est un cercle. En effet, a' et ^' s'annulant avec R', a et ^ sont constants et le centre de courbure est fixe.
299. Description de la développante d'un mouvement continu. Sa détermination analytique. — Les théorèmes précédents fournissent un moyen de décrire la développante d'un mouvement continu
COURBURE ET DEVELOPPEE 3l5
quand on connaît la développée. Concevons un fil parfaitement flexible, inextensible et sans épaisseur, enroulé sur la développée et s'en détachant tangentiellement en Zo pour venir aboutir en Mo où on le coupe (fig. 8). Imaginons qu'on déroule le fil en le détachant tangentiellement de la développée et en le maintenant toujours tendu ; l'extrémité libre du fil décrira la développante.
En effet, quand le fil se détachera en Z, il prendra la direction ZM, et comme le brin détaché s'est accru de l'arc ZgZ, sa longueur sera R. Son extrémité sera donc en M. Comme la longueur ZqMo du brin initial est arbitraire, à une même développée correspondent une infinité de développantes.
Au point de vue analytique, la détermination des développantes quand la développée est donnée, se ramène à la rectification de l'arc de la développée, c'est-à-dire à une quadrature.
En effet, supposons que l'équation de la développée soit ramenée à la forme
(15) P ^ cp(a).
Prenons a comme variable indépendante. Désignons par ^' la dérivée de (5) par rapport à a. L'arc a compté à partir du point Zo (fig. 8) dans le sens où a augmente, se détermine par la formule (n° 287)
<! - r da.\/Y+Y^-
Cette quadrature effectuée, le problème sera résolu. En effet,
soit X l'inclinaison sur l'axe des abscisses de la tangente ZM à
la développée ; les coordonnées du point M de la développante
sont :
oc =^ a + R cos A, y = j3 + R sin A.
On a tg \ =- P'. On en déduit, ZM faisant un angle obtus avec
l'axe des abscisses (fig. 8),
cosA= , sm A =^ —
Comme R = a -[- C, il vient donc
3l6 CHAPITRE VIII. COURBES PLANÉS
Les seconds membres étant fonctions de a, les équations (16) fournissent une représentation paramétrique de la développante.
Si la tangente ZM était dirigée en sens opposé, cos X et sin A changeraient de signe, mais les équations précédentes n'en seraient pas altérées, car, R variant alors en sens inverse de a, on aurait R = — (a + C).
Les équations (16) renferment une constante arbitraire C, ce qui doit être, puisqu'il existe une infinité de développantes.
300. Adaptation des formules au cas d'une représentation paramétrique. — Si oc et y sont des fonctions de t ayant pour dérivées x' et y', les dérivées première et seconde de y par rapport à x ont pour expressions (n° 177) :
On doit donc substituer ces valeurs à y' et à y" dans les formules précédemment trouvées.
L'expression du rayon de courbure se déduit de la formule (4), la transformation donne
im R - (^'^ + y^K
Les coordonnés a et (3 du centre de courbure sont déterminées par les équations suivantes, déduites des équations (7) :
Enfin la relation (10) entre R et N devient
301. Applications diverses. — I. Coniques en général. Prenons un axe de la courbe comme axe des x. L'équation d'une conique en coordonnées rectangulaires sera de la forme
y- = cLX^ + Q.'^x + y.
On en tire
a^cj-^ ,, ^y- {^x + (3)y' ^ «Y - (^'^
COURBURE ET DEVELOPPEE 3l7
Substituons ces valeurs dans la relation (10), il vient
N "" yy" ay-[ii2 ^'^ - ay '
d'où
Donc le rnyon de courbure d'une conique est proportionnel au cube de la normale limitée à un axe de la courbe.
Si l'on prend un foj^er pour origine et l'axe focal pour axe des X, l'équation prend la forme
x'^y'-^{ex-\-pY.
En identifiant cette équation avec la ]jrécédente, on a
a = e- — I, [3 -= ep, y = p'%
d'où {i- — ay = p^ et
Donc le rayon de courbure d'une conique est égal au cube de la normale divisé par le carré du demi-paramètre (ordonnée au foyer).
II. Parabole. Prenons l'axe de sjanétrie comme axe des y et la directrice comme axe des ^c. Les points de la parabole sont à égale distance du foyer et de la directrice ; l'équation de cette courbe sera
^' + {y—pY = y^y
d'où
On aura donc
N yy"
Donc le rayon de courbure de la parabole est double de la normale limitée à la directrice et il est dirigé en sens contraire, ce qui fournit une construction facile de ce rayon.
Les coordonnées du centre de courbure sont données par les équations (11), qui se simplifient grâce à la dernière équation ci-dessus. Il vient
a = A- — 2yy' - — y,
3l8 CHAPITRE VIII. COURBES PLANES
Snbstituant les valeurs de y et de x tirées de ces relations dans l'équation de la i^arabole, on trouve celle de la développée
m. Ellipse. Considérons la représentation paramétrique
X == a cos t, y = b sin t.
On en déduit
X' =^ — a sin t, x" = — a cos t, y' =- b oos t, y" = — b sin t, d'où x'y" — y'x" = ab. Il vient donc (n° 3oo)
s' = Va^ sinH + b'- cos^^ (a'^ sln^f + b- cosHy
{abf
Les coordonnées du centre de courbure sont :
/ , b cos t (a^ sin^t 4- b^ cos^O a' — b-
i a=:acosf ^^ r '- = cos^^,
\ ab a '
in u • . a sin ^ (a^ sin^^ + b^ cosH) a^ — b^ . . ,
f S---6sin^ 5^ j--- ^ = sinL
'\ ^ ab b
Ces formules fournissent une représentation paramétrique de la développée. Si l'on élimine t, l'équation de cette courbe prend la forme
(aap + {b^f = (a- — b'Y
TV. Cycloïde. Considérons la représentation paramétrique
X = a{t — sin t), y = a(i — cos t).
Nous en tirons
x' = y = a(i — cos t), x" = y' --= a sin t, y" = a cos t,
5c'2 + y'2 = 2a2 (i — cos t), x'y" — x"y' = — a^ (i — cos /)•
Il vient ainsi
R x'jx'^-hy") __ x'-^ + y'^ ^ N y {x'y" — x"y') x'y"—x"y'
Donc le rayon de courbure de la cycloïde est double de la normale et il est dirigé dans le même sens.
Les coordonnées du centre de courbure sont fournies par les
équations (18), qui donnent, à cause de la dernière égalité écrite
ci-dessus,
a ^-^ .V + 23-' = a (^ -f sin t),
^ = y — 2A-' = — a (i — cos t).
COURBURE ET DEVELOPPEE SlQ
Mais, en posant t ^ tz -]- t^, ces équations deviennent
OL ^- aiz -\- a{ti — sin t^), P -= — 2a4-a(i — cos fi).
Donc la développée est une cycloïde égale à la première mais déplacée de an dans le sens des x positifs et de 2a dans celui des y négatifs.
