V. Chaînette. Cette courbe a pour équation

af â â\

L'axe des x est sa base, la longueur a son paramètre. On trouve

d'où I -\- v'^ = V^ : a-. On en conclut d'abord

Donc le rayon de courbure de la chaînette est proportionnel au carré de Vordonnée.

D'autre part, il vient par la formule (10)

î^ Yy^~~^'

Donc, dans la chainette, le rayon de courbure est égal à la normale limitée à la base, mais il est dirigé en sens contraire.

302. Coordonnées polaires. — Soit 's, l'inclinaison de la tangente sur l'axe polaire, a celle de la normale. Comme ces deux angles varient de la même quantité, on a cp' --=^ a' et il vient (au signe Ijrès), les accents désignant les dérivées par rapport à 8,

~ dcp ~ œ' a' '

Mais on a (n°« 287 et 285)

d'où, en dérivant par rapport à 8,

(20) cp' -^ a' ^ I -£L^^-L^=.I-^f--j

Reiiiplaeant s' et a' par ces valeurs, on trouve

Il faut prendre le signe + oi^ — selon que r- + 2r'^ — rr",

flrt

donc selon que a' ou-^ est > oa < 0, donc selon que H et v

sont du même côté ou de part et d'autre de la courbe.

Les coordonnées cartésiennes a et ^ du centre de courbure s'obtiennent au moyen des relations (9), d'où l'on déduit

( dy r, (rsinO)'

^^^^ « ^ dx . , , (rcosG)'

On aura soin de ne pas confondre a coordonnée du centre de courbure avec a inclinaison de la normale.

Exemples. I. Spirale logarithmique ■ r = ae"'-^. — Dans ce cas, l'angle \t- (no 285) est constant ; a étant l'inclinaison de la normale, on a a ^ 6 — jx et on en conclut a' = i. Il vient donc

R^s'=\lr-~\- r'- = r\li + m~ .

Donc le rayon de cotirbure est proportionnel au rayon vecteur.

D'autre part, si l'on se reporte à la valeur de la normale polaire N' (n" 284), on voit que R = N'. Donc le rayon de courbure est égal à la normale polaire. Le centre de courbure est au point N (fig. 6, p. 3oo). Si p et ~ sont les coordonnées du centre de courbure, on aura

p = N' = wr, T = e + -.

En éliminant r et 6 entre ces équations et celle de la courbe, on trouve l'équation de la développée

p = mae ^ ^ ' .

Cette développée est une spirale égale â la première, car, en faisant tourner dans le sens rétrograde l'axe polaire autour du pôle d'un angle oj défini par l'équation

'«(co— f) me ^ ' = 1,

on retrouve l'équation de la première spirale.