COURBURE ET DEVELOPPEE

TI. Lemniscate de Bernoulli : r- = a~ cos 2O. — On tire de cette équation

rr' = — a'^ sin 2O, r' : r = — tg 2O. On en conclut d'abord, a étant l'inclinaison de la normale,

a = 0 — arc tg - = 30.

Donc, dans la lemniscate, l'inclinaison de la normale est triple de celle du rayon vecteur. On a donc aussi

D'autre part, X' étant la normale polaire, on a

s' = N' = v;^H=^— ^ T- = ■^• cos 20 r

De là résulte la valeur de R :

Donc le rayon de courbure de la lemniscate varie en raison inverse du rayon vecteur et il est le tiers de la normale polaire, ce qui permet de le construire facilement.

Soient maintenant a, 3 les coordonnées du centre de courbure. Faisant œ' = 3 dans les formules (22), il vient, réductions faites,

a = ^— {rr- cos 6 — rr' sin 0), ,3 = — [rr'~ sin 0 — rr' cos 0).

Enfin, en remplaçant ;-- et rr' par leurs valeurs, à savoir a- cos 26 et —a- sin 2O, on trouve, après quelques simplifications,

a = --- cos3 0, p = — sm' 0.

L'équation de la développée s'obtient en éliminant r et 0. On a

d'où

Exercices.