Même question pour la courbe
y = x^ : Sa-, z ^ a- : 2x.
R. On a, en choisissant convenablement le sens des arcs,.
dx 2a^x-
Ensuite (s désignant l'unité du même signe que x)
g p Y I (X = — £(,3 + y), [J-^ea, v = sa
%-^x-^ 2X^ a^ 2X^-i-a^' jx = £a, Y = ty, Z -^ £,3
T='cR = l^£i±^
FORMULES DE FRENET 355
3. Calculer les dérivées des coordonnées Xi,yi, z^ du centre de courbure Ml d'une courbe gauche et celle de l'arc Si décrit par ce point.
R. On dérive les relations Xi — x ^= RÀ,... et l'on tient compte des formules de Frenet, On trouve
x[ = ÀR' X ^ s', v; = i^R' — Y -~ 5', z[ = vR' - Z^s',
4. Courbes à courbure constante. — Le lieu du centre de courbure Mi d'une courbe gauche à courbure constante jouit de propriétés remarquables. On tire, dans ce cas, des équations de l'exercice précédent
En affectant de l'indice i les quantités qui se rapportent au lieu du point Ml, il vient
'-i=X, 3,= Y, Yi=Z-
Donc la tangente au point Mi est parallèle à la binormale au point M. On a ensuite les trois relations :
On en tire d'abord
«r+3;2+Yr=X'^ + Y'^ + Z'^ d'où ^=^ et Ri - R ;
ensuite, au mo3^en des formules de Frenet,
Xj = — X, [j-i = — [;., Vj = — V.
On en conclut que le point M est le centre de courbure au point Mi de la courbe décrite par ce centre de courbure. Donc les deux courbes considérées, la courbe génératrice et la courbe décrite par son centre de courbure, sont réciproquement les lieux des centres de courbure l'une de l'autre.
5. Courbes sphériqnes. — On appelle ainsi les courbes tracées sur une sphère. L'origine étant au centre, on a
x^ +y2 j^ 2- = p- = const.
En dérivant par rapport à s et en se servant des formules de Frenet, on en déduit, de proche en proche,
«^ + h' + '{2 = 0, Ax + [xy -\-vz^ — R, Xx + Yy -\- Zz == — R'T d'où
;t = XR + XTR' j/ = — p-R + YTR', ^= — vR + ZTR'.
Soit 0 l'angle de la normale principale en M avec la normale inté-
rieure à la sphère, on conclut, sans peine, des formules précédentes : 10 que l'on a, les dérivées étant toujours prises par rapport à l'arc,
E = p cos 6, I : T = ± 6', Rs + (TR')^ = f ;
2" que toute courbe sphérique à courbure constante est plane et qu'elle est, par conséquent, un cercle de la sphère.
6. Soit 5 = MM' un arc infiniment petit d'une courbe gauche. Démontrer que : la distance o du point M' au plan osculateur en M, la plus courte distance ô' des tangentes en M et en M', la différence z entre l'arc s et sa corde, ont respectivement pour expressions, aux infiniment petits près du 4e ordre :
