TORSION

Remarque. — Le théorème subsiste en général aux points où D = 0, mais à condition d'introduire de nouvelles hj^potlièses sur l'existence des dérivées d'ordre plus élevé. Nous n'examinerons pas cette question ici.

323. Interprétation gféométrique du sig-ne de la torsion. — Il résulte du théorème précédent que, quand le point ^M se déplace sur la courbe dans un sens déterminé, la rotation du plan osculateur se fait autour de la tangente. Le sens de cette rotation dépend du sig-ne de la torsion. C'est ce que nous allons montrer.

Soient M un point variable et Mo un point fixe sur la courbe, ■ji l'angle de la binormale en M avec la normale principale en Mo.

On a

cos çp =- ÀoX + i^oY + VoZ

et, en différentiant et utilisant les relations (19),

dcp . __).oX' + pipY' -f VqZ' XqX 4- t^o[^ + VqV -^smcp- ^, ^ .

Prenons Mo dans la position actuelle de M ; nous aurons cp =^ 90°, À = Xo,..., donc

d'f I 'ds'~~^'

Donc cp et s varient en sens contraire si T est positif, et dans le même sens si T est négatif. Ainsi, lorsque le point M se déplace sur la courbe dans le sens des arcs croissants, la rotation de la binormale autour de la tangente se fait du côté de la normale principale si T est positif, et du côté opposé si T est négatif.

Cette règle s'apiDlique, quel que soit le sens de rotation du trièdre OXYZ. S'il est donné comme d'iiabitnde, un observateur qui se tient debout sur le plan YZ du côté de OX, voit la rotation de OY vers OZ se faire de gauche à droite (ou dans le sens des aiguilles d'une montre). Dans ce cas, la règle précédente se transforme dans la suivante : Un observateur immobile qui regarde s'éloigner le point M, verra tourner le plan osculateur dans le sens des aiguilles d'une montre si T est positif et dans le sens inverse si T est négatif.

On dit que l'allure de la courbe est dextrorsum dans le premier cas (T positif) et sinistrorsum dans le second (T négatif). Cette distinction est indépendante du sens dans lequel se fait

dy. f/,3 dy ds l ' u. ' V ~ R '

(ZX fZY

dX a X f/u

Y Jv

ds ~ R"~^' ds "

T' ds~~

le mouvement, car, si ce seus vient à changer, le sens de la rotation et la position de l'observateur sont renversés en même temps et les apparences restent les mêmes.

324. Formules de Frenet. — Les formules de Frenet jouent un rôle important dans la théorie des courbes gauches. Elles ont pour objet d'exprimer les différentielles des cosinus directeurs des directions principales en fonction des cosinus eux-mêmes, de la courbure et de la torsion. Les trois systèmes de formules sont les suivants :

Les deux premiers nous sont déjà connus, car ils reviennent à (14) et (19). Pour établir le troisième, on différentie, en tenant compte des deux premiers, les trois équations : a). + {3;j. + yv = 0, Xa + Ypi 4- Zv = 0, À^ 4- jj^s -f v2 = i ;

il vient

ac/A + l^f/.a 4- yf/v -—^, XdA + Ydy. + Zf/v = — ^,

IdA -\- <^d'^ + vc/v = 0.

On ajoute ces équations respectivement multipliées par a, X, )., ou par [i, Y, {jl, ou par y, Z, v, on obtient les formules (22).

On déduit de ces formules d'importantes conséquences, par exemple les suivantes :

i*^' Toute courbe dont la courbure est constamment nulle est une droite.

En effet, les formules (20) donnent dans ce cas ch -= (/j3 = f/y = 0, donc a, [i, y sont constants et la ligne est droite (n° 809).

2*^ Toute courbe dontla torsion est constamment nulle est plane.

En effet, les formules (21) donnent alors dX =-- clY = dZ = 0, donc X, Y, Z sont constants. On a alors

XvV + Yy + Zs = Const.

car le premier membre a pour dérivée Xoc' -f- Y)-' + Zz' qui est nul. Donc la courbe est dans le plan représenté par cette équation.

FORMULES DE FRENET 349

325. Expressions des dérivées successives des coordonnées par rapport

à l'arc. — Prenons l'arc s comme variable indépendante. On a d'abord par les formules de PVenet,

R' R R2 VR- R^ RtJ'

Si l'on continue à dériver de proche en proche, en remplaçant chaque fois les dérivées de x, À, X par leurs valeurs tirées des formules de Frenet, on trouve

.r.«;=aPi + ÀP2 + XP3,

où P], P; et F-i sont des fonctions rationnelles de R, T et de leurs dérivées successives. Ces mêmes fonctions s'introduisent dans les valeurs de V"' et de 2'^"\ de sorte que l'on a

y;«) = (3Pl + jxP,+YP3,

^'«'-yPi+vP. + ZP3.

En particulier pour les trois premiers ordres, les valeurs de Pi, P2 et P3 se trouvent dans les expressions de x', x" et x'" écrites ci-dessus.

Pour faire une application de ces formules, plaçons l'origine des coordonnées à l'origine des arcs, prenons les axes coordonnés suivant les directions principales, OX suivant la tangente, OY suivant la normale principale, OZ suivant la binormale au point O, et proposons-nous de développer x, y et z suivant les puissances de s par la formule de Maclaurin. Bornons-nous seulement au calcul des trois premiers termes. Le développement de x est le suivant : I' jii

X =^ xos -j s- -| — -— 53 4- . . .

et ceux de V et z sont analogues. Dans le cas actuel, a^, = [Xy = Zo = i et les autres cosinus directeurs au point O sont nuls. On a donc

'jf ^ I

Par conséquent,

■zix 6R2^ "^■■•' ^ 6RT"^ ■•■

Parmi les conséquences de ces formules, nous indiquerons seulement la suivante : Une courbe traverse chacun de ses plans oscillateurs en son point de contact.

En effet, sauf le cas de R ou bien T infini, la dernière équation montre que z change de signe avec 5. A l'origine, le plan osculateur est

celui des xy ; la courbe passe donc d'un côté à l'autre de son plan osculateur. Le point M se mouvant sur la courbe dans le sens des arcs croissants, passe, par rapport au plan osculateur, du côté de la binormale si T est négatif, du côté opposé si T est positif.

326. Hélice circulaire. — Cette courbe est décrite par un point M qui se meut uniformément sur une droite, laquelle tourne elle-même d'un mouvement uniforme autour d'un axe qui lui est parallèle. L'hélice est donc tracée sur un cylindre de révolution. Soient r le rayon de la section droite du cylindre et k une constante. Si l'on prend l'axe du cylindre pour axes des z et si l'on fait passer l'axe des y par un point de la courbe, les équations de l'hélice circulaire sont : .

X = r sin t, y ■= r cos t, z ^= ht.

Nous compterons les arcs dans le sens où t croît, de sorte que nous aurons, h désignant une constante positive,

hy,

B = -kx, ^ = -r\ yA2 + B^ + C^

hr hr h

I X' k T Is' h^ '

hr.

Donc : jo La courbure et la torsion sont constantes ; oP la tangente, la binormale et la normale principale font des angles constants avec OZ (le dernier étant droit) ; S'' la torsion a le signe de k.

Avec notre convention sur le sens de rotation des axes coordonnés, les spires, vues de l'extérieur du cylindre supposé vertical, paraissent monter de gauche à droite si k est positif (dextrorsum) et de droite à gauche si k est négatif (sinistrorsum).

Les coordonnées du centre de courbure j\Ii sont (no 3x6) :

Donc le lieu du centre de courbure est une nouvelle hélice. Le centre de courbure au point AIi de cette nouvelle hélice est au point M. Les deux hélices décrites par M et Mi sont réciproques au point de vue de la courbure : chacune d'elles est le lieu des centres de courbure de

FORMULES DE FRENET 35l

l'autre. C'est d'ailleurs une propriété générale des courbes à courbure constante. (Voir l'exercice 4 à la fin du paragraphe).

Réciproquement, toute courbe qui a ses deux courbures constantes est une hélice (Liouville). Ce théorème sera démontré au n" 328.

327. Hélice quelconque. — Une droite AB qui reste parallèle à OZ et dont le point A décrit une courbe PQ dans le plan xy, engendre une surface cylindrique. Supposons que le point M se déplace avec une vitesse constante sur la droite AB pendant que le point A se déplace avec une vitesse constante sur la courbe PQ ; le point M décrit sur la surface du cylindre une courbe appelée hélice. Soit C7 l'arc de la courbe PQ (section droite du cylindre) ; les équations de l'hélice sont de la forme {k constant)

Prenons t comme variable indépendante ; nous avons

x'-2 -\-y'-^ = 1, s' = \Jx'^ +y^ + z'-2 = \/i-^k-^.

Donc : i" l'arc s de l'hélice est proportionnel à l'arc C7 de la section droite. Il vient alors

Donc : 2° la tangente à l'hélice fait un angle constant avec la génératrice du cylindre ; 3*^ la normale principale à l'hélice est normale au cylindre. Il vient ensuite

Mais a'2 -f- !3'2 est le carré de la courbure de la section droite, donc : 40 les rayons de courbure aux points correspondants de l'hélice et de la section droite sont proportionnels. En particulier si l'hélice est à courbure constante, la section droite l'est aussi et devient un cercle (n» 298), donc : 5° toute hélice à courbure constante est circulaire.

On tire maintenant des deux premières séries de formules de Frenet

(23) R^a — TrfX=-0, Rrf,3-TrfY = 0, R^y— T^Z = 0.

La dernière équation montre que dZ s'annule avec rfy, donc Z est constant et : 6° la binormale à l'hélice fait un angle constant avec la génératrice du cylindre. Enfin la dernière formule de Frenet devient maintenant (v étant nul)

et comme y et Z sont constants, nous voyons que : 70 les rayous de courbure et de torsion de l'hélice sont dans nn rapport constant.

Ces diverses propositions admettent des réciproques. C'est ce que nous allons montrer.

328. ConditioHS sous lesquelles une courbe est une hélice. — i" Toute courbe dont la tangente fait nu angle constant avec une droite fixe OZ, est une hélice.

En effet, prenons 5 pour variable indépendante, on a ^' = y (constant), donc en faisant passer le plan des xy par l'origine des arcs, z =^ ys. On a ensuite

I = x"' + J''^ + z'^ — ^'- + Y-, d'où 7' = Vi — t, et en comptant l'arc ^ de la section droite à partir du point correspondant à l'origine de l'arc 5, on a :- = Vi — '>' ^- Donc, en exprimant x, y et z en fonction de 7, on a les équations d'une hélice :

20 Toute courbe dont la normale principale est perpendiculaire à une droite fixe OZ ; toute courbe dont la binormale fait un angle constant avec OZ, est une hélice.

Ces propositions se ramènent respectivement à la précédente par l'une des formules :

^y ^ -1- ds, R(fy — TdZ = 0,

qui montrent que d'{ s'annule soit avec v, soit avec dZ, auquel cas y est constant.

3" Toute courbe dont les deux courbures sont dans un rapport constant est une hélice.

Posons, en effet,

a, b, c seront constants, car leurs différentielles seront nulles en vertu des équations (23). Additionnons les trois équations ci-dessus respectivement multipliées par a, |3, y, il vient

aa + è,3 + cy=-i.

Cette équation exprime que la tangente fait un angle constant avec une droite de coefficients directeurs a, b, c, ce qui ramène au cas 1°.

4" Toute courbe dont les deux courbures sont constantes est une hélice circulaire.

En effet, c'est une hélice en vertu de la proposition précédente et, comme elle est à courbure constante, elle est circulaire. (\'oir ci-dessus, no 327, 5°).

FORMULES DE FRENET 353

329. Courbes de Bertrand. — On appelle courbes de Bertrand celles dont les deux courbures sont liées par une relation linéaire. On est conduit à ces courbes quand on se propose le problème suivant :

Trouver une courbe gauche dont la normale principale soit aussi la normale principale d'une autre courbe.

Soit M{x,y, z) le point qui décrit la première courbe, Mi(a-ijvi, ^'i) celui qui décrit la seconde. Nous écrirons sans indice les éléments relatifs à la courbe (M) et avec l'indice i ceux relatifs à la courbe (Mi).

Soit p la distance MMi et 'h l'angle de la tangente MiTi avec la tangente MT, angle compté positivement du côté de la binormale MB. Ces deux quantités p et 'l sont constantes. En effet, on a

df = d^{x — ;i'i)' = 2^{x — Xx)dx — 2^x — xi)dxi

et chacune de ces deux sommes est nulle, car M et Mi se déplacent normalement à p, donc dp^ = 0. D'autre part, en vertu des formules de Frenet, on voit facilement (À, [j-, v et lu [j-u -'i étant identiques) que Sa^ai et Sajr/a sont nuls, d'où

d cos 'l -= rf(aa, + .3pi + YYi) = 0,

Donc les trièdres principaux relatifs aux deux courbes sont invariablement liés entre eux.

D'autre part, en dérivant par rapport à s les trois relations : Xi = X -{- Xp, ji = ..,, ^'i =^ ... où p est constant, il vient

ds^ / a X \ ^ dsi dsi

^5 ' " ds

Multipliant par a, ,3, -; et ajoutant ; par X, Y, Z et ajoutant, il vient

(2) -cos'i.^i-j^, ^sm'l = -^,

d'où

Donc les deux courbures de la courbe (M) sont liées par une relation linéaire. La courbe (M) est une courbe de Bertrand et la courbe (Mi) en est une aussi, pour les mêmes raisons.

Réciproquement, toute courbe de Bertrand (M) est conjuguée à une autre courbe (Mi) ayant même normale principale.

En effet, si la courbe (M) satisfait à la relation {p, q constants)

je dis que la courbe (MJ que l'on en déduit en portant MMi (ou p) égal à p sur la normale principale, aura cette normale principale commune avec (M).

En efïet, p étant constant, on a les équations (1), d'où l'on tire, en multipliant par À, [j-, v et ajoutant, IXaj = 0, ce qui montre que MMi est une normale à (AIi). Donc on a, comme plus haut, les équations (2) et (3) et, par comparaison avec (4), cot '^-> ^^^ q : p. Donc 'i> est constant et il vient, à cause de i^Xai ^ o,

0 = ^ COS 'i' = ^-aai =— i^aÀi, 0 = rf sin 'h = d^Xo., =^ SXÀi.

Donc la normale principale à (Mij est normale à MT et à MB et coïncide avec MMi.

Une courbe qui a ses normales principales communes avec deux autres courbes est une hélice circulaire, et les normales principales sont alors communes à une infinité d'hélices circulaires.

En effet, R et T, étant alors liés par deux relations linéaires distinctes, sont constants et la courbe est une hélice circulaire. D'autre part, la longueur constante M^NIi peut alors être prise arbitrairement. Toutes les hélices décrites par ]\Ii sont tracées sur desc3-lindres concentriques.

Exercices.