CHAPITRE X

Calcul des aires, des arcs et des volumes. Evaluation approchée des intégrales définies.

§ 1. Quadrature des aires planes.

330. Quadrature des aires planes (coordonnées cartésiennes). — Soit f{x) une fouction coutinue dans l'intervalle (a, b) (a < b). ConsidéroQS la courbe plane qui a pour équation

par rapport à deux axes OX et OY se coupant sous un angle A. Proposons-nous d'évaluer l'aire comprise entre la courbe, l'axe des X et les deux droites .v = a et x = b.

Supposons, pour commencer, que f{x) soit constamment positif dans l'intervalle (a, b). Alors le problème à résoudre est celui que nous avons déjà examiné au n° 222, mais en axes rectangulaires. La solution est analogue pour des axes quelconques. Décomposons l'aire en segments par des parallèles à l'axe des y d'abscisses successives Xi — a, X2, x^... Xi,... Xn+i -= b et soient, en général. M, et m, les bornes supérieure et inférieure de f{x) dans l'intervalle {Xi, Xi+i) d'amplitude S^-. L'aire du segment de base Se est intermédiaire entre celles des deux parallélogrammes de même base o/, l'un inscrit dans le segment et l'autre circonscrit. Ces parallélogrammes ont respectivement pour mesures iiii^i sin X et M^Sé sin X. L'aire S à évaluer sera comprise entre les deux sommes :

sin X S niihi et sin X S MjSj. i i

Elle a donc pour valeur la limite commune de ces deux

sommes quand tous les Zt tendent vers zéro. Il vient ainsi, jjar

définition de l'intégrale définie (n'' 219),

(1) S = sin X J /(.v) c/.x

Si l'on suppose inaiiitenant que f{x) soit constamment négatif dans l'intervalle (a, b), le raisonnement précédent subsiste, sauf gue que toutes les mesures considérées sont négatives, et la formule (1) donne pour S une valeur négative. Les aires calculées par cette formule sont donc positives quand la courbe est située au-dessus de l'axe des x, et négatives quand la courbe est située au-dessous.

Enfin, si la courbe traverse une ou plusieurs fois l'axe OX, la formule fournit seulement la différence entre les aires situées de part et d'autre de cet axe. Dans ce cas, si l'on veut calculer l'aire totale, il faut donc évaluei- séparément les aires positives et négatives et faire la somme de leurs valeurs absolues.

Lorsque les axes sont rectangulaires, sin A = i. La formule se simplifie et prend la forme la plus habituelle :

(2) S- rf\x)dx^ Çydx.

Ja Ja

331. Les formules précédentes permettent d'évaluer l'aire comprise entre deux courbes. Supposons que ces courbes aient pour équations :

ji = /i(^^-). y^ = /2(.'>^)

et que l'on ait constamment fi{x) < f2{x). L'aire S comprise entre les deux courbes et les deux droites x ^ a et x ^ b, sera la différence algébrique entre les deux aires Sg et Si comprises entre ces deux droites et l'axe des a;, mais limitées respectivement à chacune des deux courbes. On a donc S = Sj — S,. Si les axes sont rectangulaires, la formule (2) s'applique au calcul de Sg et de Sj et il vient

(3) S== (\Ux)-f\{x)]dx.

Ja

Si les axes sont obliques, l'intégrale précédente doit être multipliée par sin X.

La formule (3) s'emploie pour calculer l'aire d'une courbe fermée qui n'est rencontrée qu'en deux points par une parallèle à l'axe des y.

Dans ce cas, l'équation de la courbe fournit pour y les deux valeurs fi{x) et [^{x) que l'on doit substituer dans la formule, et l'on prend pour a et b les valeurs extrêmes de x sur la courbe.

332. Applications (coordonnées cartésiennes). — T. Parabole. La parabole, rapportée à un dianièlre OX et à la tangente à l'extrémité de ce diamètre, a pour équation y- = ipx, d'où

f{x) ^ \JQ.p sjx.

L'aire comprise, au-dessus de l'axe OX, entre cet axe, la courbe et la corde d'abscisse x, sera donc

S = \/2/j sin \ I \Jx dx == sjap sin \ ^ x = ^ xy sin X.

Cette aire vaut donc les deux tiers du parallélogramme construit sur les deux côtés rectilignes, a: et y, de l'aire considérée. La relation analogue existe entre les aires correspondantes situées au-dessous de l'axe OX. Donc le segment détaché de la parabole par une corde quelconque est égal aux deux tiers du parallélogramme construit sur sa corde et sur sa flèche (portion du diamètre conjugué intérieure au segment).

II. Cercle. L'équation d'un cercle en coordonnées rectangulaires est

y = Va' — '^"^-

Le segment situé au-dessus du diamètre OX entre les cordes A' = 0 et A." = X, a donc pour valeur

S -= rdxsja^ — .-v^ =^ -Va' — x^ +

Jo 2

— arc sm ~ 2 a

ainsi qu'il résulte de la valeur de l'intégrale indéfinie, calculée au no 190.

Si a; = a, on obtient l'aire du quart de cercle, Tza^ : 4. Donc l'aire du cercle entier est iza^.

III. Ellipse. L'ellipse étant rapportée à ses axes, son équation se ramène à la forme

Le segment situé au-dessus de l'axe OX entre les cordes A" = 0 et a: =^ a;, s'obtient en multipliant par b : a l'aire que nous venons d'obtenir pour le cercle. Donc l'aire de l'ellipse entière sera izab.

IV. Hyperbole. L'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes est de la forme

36o CHAPITRE X. CALCUL I>ES AIRES, DES ARCS ET DES VOLUMES

L'aire S comprise (fig. 9) entre l'arc de la courbe AM, l'axe horizontale OX et la verticale MP d'abscisse T^ x{x > a) a pour valeur