Jn

Calculons d'abord l'intégrale indéfinie.

' !»• 9- Vne intégration par partie donne

( dxK/x'^ — a- = X \/a-2 — a- — 1 - .

Si l'on remplace xhlx par (.v- — a"-) dx -\- a-dx, la dernière intégrale se décompose en deux autres, dont celle du premier membre. On en conclut

2 dx\L\^ — a^ -= .Y \/x^- — a- — a- ,

dx\x- — a-= -\/x^ —a' — Log {x -\- \'x' — a-).

De là résulte facilement la valeur de S :

b —o r ab ^ x + \/x'

S -= — A- \x- — a- Log ^ —

et, en se servant de l'équation de la courbe,

^ xy ab fx y

S = -^ -Log -4-1:

2 2 ^\ab

Le premier terme de S mesure l'aire du triangle OPM (fig. 9). Donc le second terme, pris en valeur absolue, mesure l'aire du secteur OAM (secteur hyperbolique).

Si l'hyperbole est rapx^ortée à ses asymptotes, son équation est .v^' = A-'. L'aire comprise entre la courbe, l'asymptote OX et deux parallèles à l'autre asj-mptote d'abscisses Xo et x, a pour mesure (À étant l'angle des asymptotes)

— dx = k^ sin A Log -^

A' ^ Xo

S = sin À — ^ dx = k^ sin A Log -^.

C'est cette propriété des logarithmes népériens qui leur a fait donner le nom de logarithmes hyperboliques.

On remarquera que l'aire S augmente indéfiniment quand a* tend vers l'infini ou quand Xo tend vers 0. La portion du i^lan

— (t — siu^cosf,, , . ^ ■ ^ .^^

QUADRATURE DES AIRES PLANES 36l

eomi)rise entre mie branche de la courbe- et ses asymptotes à donc une aire infinie.

IV. Cycloïde. — Si l'on j)rend pour variable d'intégration l'angle t (n'' 288), on aura

ydx = a'(i — cos ty dt.

L'aire S de la cycloïde comptée depuis l'origine où t = 0 jusqu'à l'ordonnée qui répond à l'angle t, aura pour mesure

o o r^ .X., ,, c, /'SZ . . , siu^cosA b = a- (i — cos ty dt =- a^ { sin t -\ J .

Retranchons cette aire OMP (fig. 10) de celle de rectangle OPFG qui a pour valeur 2ax ou bien y 2a'- {t — sin t), le reste, c'est-à-dire l'aire OMFG, sera égal à

ce qui est précisément l'aire du segment ^^' ^^*'

AMQ déterminé, dans le cercle générateur, par la perpendiculaire MQ sur le diamètre AB. On a donc

surf. OMFG = surf. AMQ.

A l'extrémité de l'arcade, r= 2t: et S = Sîca-. Donc l'aire totale entre une arcade de cycloïde et sa base est triple de l'aire du cercle générateur.

333. Quadrature des secteurs (coordonnées polaires). — Considérons l'équation d'une courbe plane en coordonnées polaires

où f{H) est une fonction continue entre Oj et B (Oj < H).

Proposons-nous d'évaluer l'aire du secteur compris entre un arc de la courbe et les deux rayons vecteurs d'inclinaisons Oi et B. Pour cela, décomposons cette aire en secteurs élémentaires par des rayons vecteurs intermédiaires d'inclinaisons successives ^2,... 8/,.... 9n, et soit 6n+i = ©• L'aire d'un secteur quelconque, limité par deux rayons consécutifs d'inclinaisons Oï et 9^+1, est comprise entre celles de deux secteurs circulaires de même ouverture {^i+i — %), mais ayant respectivement pour rayons le minime nu et le maxime Mj de /(9)

dans l'intervalle (ôj, ti+i). Ces denx secteurs circulaires ont respectivement pour mesures ^ /n^^i+i — ^0 et ^ M^ (Oj+i — 8^). Donc le secteur entier de la courbe sera compris entre les deux sommes :

Si l'on multiplie indéfiniment le nombre des secteurs élémentaires, de manière à faire tendre vers zéro toutes leurs ouvertures (9ï+i — Oj), ces deux sommes tendent vers une limite commune, qui sera la valeur de S. Cette limite est une intégrale définie ; on a donc

Remarque I. — On peut appliquer la formule (4) à des courbes qui décrivent plusieurs si)ires autour du pôle. Dans ce cas, l'intervalle d'intégration peut croître au delà de quatre angles droits et la formule représente l'aire totale balayée par le rayon vecteur quand il tourne dans le même sens de 6 à 0. Donc, quand le rayon tourne de plus d'un tour, les aires décrites se recouvrent l'une l'autre.

Remarque IL — On peut transformer la formule (4) de manière à la rendre immédiatement applicable au cas des coordonnées cartésiennes. On a, en effet,

rhl^ -= {x^ 4- 3'')f/. arctg ^' = xdy — ydx.

Supposons ^ et y exprimés en fonction d'une variable t, qui varie de ^j à t^ quand le X30int {x, y) décrit l'arc limitant le secteur, et prenons t comme variable d'intégration. La formule (4) se transforme dans la suivante :

(5) s-^r'^'y-y-^dt.

334. Applications (Coordonnées polaires). — I. Spirale d'Archi- MÈDE : r ~ aH. L'aire S depuis l'origine jusqu'au rayon vecteur r, a pour mesure

2 jo 2 jo

Si l'on fait 9 = '2tz, on obtient l'aire entourée par la première

spire, a savoir ^ -n-^a-.

II. Spirale logarithmique : r = ae'"^- Cette courbe décrit une infinité de spires autour de rorigine. Cherchons l'aire du secteur S compris entre un arc de la courbe et les deux rayons vecteurs ri et R d'inclinaisons 0, et 0. On aura

^ni ' ^m

Si l'on fait tendre 8; vers — x, i\ tend vers zéro et S vers R^ : 4'"- On obtient ainsi la limite de la somme des aires entourées par un nombre illimité de spires qui se rapprochent indéfiniment du pôle.

III. Lemniscate : r^ = a" cos 2O. Cette courbe se compose de deux feuilles symétriques. L'aire du secteur compris entre l'axe polaire et le rayon d'inclinaison 0, sera

2 Jo

cos 28 f/8 -= —r sin 2O.

Si l'on fait 0 = ir : 4, on obtient l'aire a^ : 4 d'une demi-feuille. L'aire totale de la courbe est a^.

335. Aire limitée par une courbe fermée. Notion des intégrales curvilignes. — On appelle contour fermé simple un contour fermé qui ne se coupe pas lui-même. Un tel contour enferme une aire que l'on peut se proposer d'évaluer.

Nous savons déjà calculer cette aire lorsque le contour se réduit au quadrilatère curviligne envisagé au n° 33i. Ce contonr se compose de deux parallèles à l'axe des y d'abscisses a et 6 et de deux courbes AjBi et AgBg qui ferment le quadrilatère, et qui ont pour équations dans l'intervalle (a, b) :

Yi = /'■(•v), Yi = U^), Yx < Y2' L'aire intérieure au contour a, dans ce cas, pour valeur (11° 33i)

(6) S - \\\dx — Çy.dx.

Ces deux intégrales ont la même forme J" ydx et, pour achever de les déterminer, il suffit de faire connaître les arcs AgBg

et AiB, que x3arcourt le point {x, y) pendant l'intégration et le sens dans lequel se fait le parcours. Nous dirons donc que ces deux intégrales sont des intégrales curvilignes (*) et nous les représentons par les notations

I ydx, j ydx.

Cette notation désigne l'arc par ses extrémités ; on écrit d'abord le point de départ, ce qui fait connaître le sens du parcours. Renverser ce sens revient à intervertir les limites a et b des intégrales et, par conséquent, à changer leur signe. L'équation (6) peut donc s'écrire maintenant

ydx — ydx = ydx + ydx.

JA^B., JAjB^ Jk.,b^ Jb^a^

Un contour fermé peut être parcouru dans deux sens différents. On appelle sens direct celui qui laisse à gauche l'intérieur de l'aire. L'autre est le sens rétrograde. Donc, dans les dernières intégrales, les arcs AgB, et EjAi sont parcourus dans le sens rétrograde.

Considérons maintenant un contour simple C, formé d'un nombre limité d'arcs successifs sur chacun desquels x varie toujours dans le même sens quand on décrit le contour. Ce cas est évidemment très général. Appelons intégrale effectuée sur le contour et désignons par

I ydx

JlC]

la somme des intégrales curvilignes effectuées dans le sens direct sur chacun des arcs successifs qui composent le contour. Je dis que l'aire S intérieure au contour aura pour mesure

dx.

En effet, en menant des parallèles à l'axe des y par les points de séparation des arcs successifs, on décompose l'aire S en mor-

(*) Les intégrales curvilignes sont présentées ici au point de vue le plus élémentaire. La définition générale sei'a donnée § 3.

ceaux, dont les frontières respectives n'empruntent que deux arcs distincts du contour C et qui s'évaluent, par conséquent, par la formule (7). L'aire de chaque morceau se mesure par la somme des intégrales effectuées dans le sens rétrograde sur les deux portions du contour C qui lui servent de frontières. Faisons la somme de ces aires ; nous obtiendrons l'intégrale effectuée dans le sens rétrograde sur tout le contour, c'est-à-dire la formule (8).

Remarque I. — Le contour C peut aussi comprendre des portions de droites. Il n'y a de remarque à faire que pour celles qui seraient parallèles à l'axe des y. Dans ce cas, comme elles n'interviennent j)as dans l'évaluation des morceaux, elles ne doivent pas intervenir non plus dans l'évaluation de l'aire totale. Cependant, si l'on attribue la valeur 0 à l'intégrale effectuée sur ces lignes (ce qui est naturel, x étant constant et dx nul), on peut étendre l'intégration à tout le contour et considérer la formule (8) comme générale.

Remarque II. — La formule (8) sera d'une application immédiate si X et y sont exprimés en fonctions continues d'une variable auxiliaire t et admettent des dérivées continues par rapport à t. Supposons, en effet, que le point (x, y) décrive tout le contour C dans le sens rétrograde quand t varie de ^i à T. Prenons t comme variable d'intégration ; l'aire S intérieure au contour C s'évaluera par la formule

y^dt

Remarque III. Nous avons établi la formule (8) en considérant y comme fonction de x. On peut établir une formule analogue en considérant .v comme fonction de y. Mais il faut supposer des conditions correspondantes. Cette formule sera

(10) S = f xdy,

JiC)

car le contour doit être parcouru dans le sens direct pour que l'intégrale soit positive.

La combinaison des formules (8) et (10) donne encore une formule, souvent employée.

«=E'''''^-Ey"-"'

que l'on écrit plus simplement

. (11) S^.-jj^xdy-ydx).

Ces nouvelles formules s'appliquent avantageusement, comme la formule (8), au cas où la courbe est donnée par une représentation j)aramétrique {*). On trouvera dans le n° suivant l'ai^plication de ces formules à la démonstration du remarquable tliéorème de Holditch.

336. Théorème de Holditch. — Une corde de longueur constante c + c' se meut d'un mouvement continu en s' appuyant par ses extrémités sur une courbe fermée donnée, C, qui ne se coupe pas. Si ces deux extrétnités font le tour de la courbe C (on suppose ce mouvement possible avec des rétrogradations au besoin), Faire comprise entre la courbe et le lieu du point M qui partage la corde en deux segments c et c', a pour mesure •jtcc', quelle que soit la courbe donnée, pourvu que M décrive un contour simple.

Désignons par K la courbe décrite par M et supposons que cette courbe forme un contour simple. Soient {xi,y\) et {x-z, y-i) les coordonnées variable^ des extrémités de la corde ; celles du point M seront

cxi -\- c'xo cyi -{- c'y 2

Imaginons que les coordonnées soient exprimées en fonction d'un paramètre t qui varie de ^i à T quand les extrémités de la corde décrivent la courbe C. Prenons t comme variable. Les aires S et 2 intérieures aux courbes C et K pourront s'évaluer par les intégrales :

Çyidx, = \''y,dx, = pi^i±

cc')yidxi + {ce' + c'-^)y2dx.z

{c + c'T- ■ V f "" ., ricyi+c%)icd-r,+c'dx2)

où l'on suppose les x et les y exprimés en fonction de t. On en déduit par soustraction

-yi){dx2 — dxi).

^Menons, à partir de l'origine, une droite égale et parallèle à la corde. Les coordonnées de l'extrémité seront t, =j/2 — y^ et ? = a--^ — Xi. Or cette extrémité décrit un cercle de raj-on {c -\- c'). L'intégrale qui figure dans la dernière équation n'est autre chose que l'intégrale de r,dc effec-

(*) Les démonstrations les plus générales des formules (8). 1 10) et (I I) seront données au § 4-

tuée sur ce cercle. Donc elle mesure l'aire du cercle et sa valeur est TT (c + c'y. Il vient donc

S — S = Tzcc'.

Si les courbes C et K ne se coupent pas, le théorème est donc démontré. Si elles se coupent, il reste vrai, à condition d'attribuer des signes contraires aux aires situées de part et d'autre de la courbe C. Mais le théorème tomberait en défaut si le lieu du point M ne constituait pas un contour simple. Le théorème suppose encore les courbes C et K soumises aux conditions que nous avons indiquées au no précédent pour que les formules soient légitimes.

Exercices.