CHAPITRE VI

Théorie élémentaire des intégrales définies. Intégrale de Riemann.

§ 1. Intégrales définies considérées comme limites de sommes.

216. Fonctions intégrables au sens élémentaire. Première définition de l'intégrale définie. — Nous nous proposons ici de faire la théorie des intégrales définies sous la forme la plus élémentaire et non la plus générale. Nous dirons donc, quitte à généraliser cette définition plus tard, qu'une fonction f{x) est intégrable (au sens élémentaire) dans un intervalle {a,b) si elle est continue dans cet intervalle et, plus généralement, si, n'étant pas continue, elle est bornée et ne possède qu'un nombre limité de points de discontinuité dans l'intervalle (a, b).

Ceci posé, soit /"(.v) une fonction intég-rable dans un intervalle (a, b) et ayant pour bornes supérieure et inférieure les nombres M et m, c'est-à-dire (n* 12) que ce sont les deux nombres les plus rapprochés entre lesquels la fonction demeure comprise quand x varie dans (a, b). Décomposons l'intervalle (a, b) en éléments consécutifs par les points rv, = a, x^, -Va,... Xn+i = b. Soient, en général, ùt --^ Xij^i — Xi l'amplitude d'un des intervalles élémentaires et mi la borne inférieure de f{x) dans cet intervalle 5?. Formons la somme, étendue à tous les intervalles 5j depuis a jusque b,

s -== È nii Sj.

On peut former une infinité de sommes analogues en faisant varier le mode de subdivision de l'intervalle (a, b). Mais, puisque nit est compris entre m et M, toiites ces sommes sont comprises entre mSSj --= m {b — a) et M^Sj = M (6 — a). Elles ont

23o CHAPITRE VI. THEORIE ÉLÉMENTAIRE DES INTEGRALES DEFINIES

donc en particulier une borne supérieure, c'est-à-dire qu'il existe un plus petit nombre qu'elles ne peuvent surpasser (n'^ 12), Cette borne est une intég-rale définie ; elle se désigne par la notation

(1) Çnx)dx.

Les quantités a et b, valeurs extrêmes de x entre lesquelles se fait la sommation, sont les limites de l'intégrale : a est sa limite inférieure, b sa limite supérieure.

L'expression (1) se prononce intégrale ou somme deakb f{x)dx.

La lettre x sous le signe d'intégration est la variable d'intégration et elle peut être remplacée par toute autre lettre, l'expression

est identique à la précédente.

L'intégrale définie jouit des deux propriétés suivantes, qui vont nous servir à en transformer la définition.

217. Théorème de la moyenne (Cas particulier). — De même que les sommes s dont elle est la limite, l'intégrale (1) est comprise entre les deiix quantités m {b — a) et M {b — a). On exi^rime ce théorème, connu sous le nom de théorème de lu moyenne, par la relation

Çf{x)dx = i.{b-a),

OÙ ix désigne une certaine moyenne entre les valeurs de f{x) dans l'intervalle (a, b), c'est-à-dire une quantité comprise entre m et M.

Quand f{x) est continue dans l'intervalle (a, b), cette fonction prend la valeur (jl en un point H de l'intervalle (11° 27, VI) et l'on peut aussi écrire

\j{x)dx = f{l){b-a).

218. Partage de l'intervalle d'intégration. — Théorème. Si l'on partage l'intervalle (a, b) en deux autres par un point intermédiaire c, on a la relation

jj-{x) dx = jj{x) dx + jj{x) dx.

INTEGRALES CONSIDEREES COAIME LIMITES DE SOMMES 23x

Observons d'abord que si Fou partage un des intervalles 81, 82,..., par exemple 8/, en deux autres 8^ et 8^' par l'addition d'un nouveau point de subdivision, la somme S/ïijS/ augmentera (si elle change), car le terme niiùi sera remplacé par une somme nitùi 4- mi 8< au moins égale (puisque m^ et lUi sont > mi).

Ceci entendu, montrons que les deux membres de l'équation (2) ont la même définition.

Le premier membre est la borne supérieure de toutes les sommes Sm8 étendues de a à 6 (n" 216) ; le second est la borne supérieure des sommes analogues quand on s'astreint à prendre c comme point de subdivision. Mais cette restriction est sans conséquence, car toute somme S/ïiS étendue de a à 6 ne surpasse pas celle qu'on en déduit en prenant en plus c comme point de subdivision.

Remarque. — Le théorème précédent se généralise de proche en proche : Si F on partage l intervalle (a, b) en plusieurs autres, l'intégrale dans l'intervalle entier est la somme des intégrales dans chaque partie.

219, Définition usuelle de l'intégrale définie. — Partageons l'intervalle (a, b) en intervalles consécutifs d'amplitudes oi, dési^ gnons par Mj et nit les bornes supérieure et inférieure de /'(.v) dans l'intervalle 8/ et formons les deux sommes :

étendues à tous les intervalles 8e. Nous allons démontrer le théorème suivant, qui fournit la définition usuelle de l'intégrale définie :

Théorème. — L' intégrale

jj{x)dx

est comprise entre les deux sommes ZniiU et SMe8, et est leur limite commune quand tous les intervalles 8^ tendent vers zéro. En effet, en vertu du théorème précédent (n'' 218), l'intégrale dans (a, b) est la somme des intégrales dans chaque intervalle 8i, c'est-à-dire la somme des intégrales prises entre deux points de subdivision consécutifs X/ et ^c^-i-i. On a donc

Çf{x)dx = i: p^'ax)dx.