CHAPITRE Vi. THEORIE ELEMENTAIRE DES INTEGRALES DEFINIES

Le second membre est compris entre 'Lmfji et SM^o^, car le théorème de la moyenne (n" 217) s'applique à chaque intégrale, ce qui prouve la première partie du théorème.

Pour établir la seconde, il reste à montrer que la différence de ces deux sommes, à savoir

S (M, m,) Oi,

tend vers zéro avec tous les intervalles Oj. La conclusion est immédiate si f{x) est continue dans l'intervalle (a, h), car les oscillations M, — nii deviennent toutes inférieures à tout nombre donné s quand les intervalles 0^ deviennent tous suffisamment petits (u'^ 27, IV), et la somme S (Mj — /«,) o^ est alors moindre que zïZi ou e {Ii — a), quantité aussi petite que l'on veut avec e. Cette somme tend donc A^ers zéro.

Cette conclusion subsiste, si f{x), restant bornée, possède un nombre limité de points de discontinuité entre a et b. En effet, donnons-nous un nombre positif to arbitrairement petit. Les oscillations M^ — nii deviendront, comme ci-dessus, inférieures à £ dans tous les intervalles o^ qui restent à une distance > w des points de discontinuité, et sont, par suite, intérieurs à des intervalles fixes où la fonction est continae. La partie correspondante de la somme I (M, — im) oi aura donc pour limite zéro.

La somme des autres intervalles 0( et, avec elle, l'autre x^artie de la somme ^ (Mj — nij) oi peuvent être supposées aussi petites que l'on veut avec w, puisqu'il n'y a qu'un nombre limité de points de discontinuité. La limite de la somme complète ne peut donc encore être que zéro.-

220. Autres limites de sommes qui peuvent servir de définition à l'intégrale définie. — Il est souvent utile de considérer l'intégrale définie comme limite d'expressions différentes des précédentes. Supposons f{x) intégrable dans l'intervalle (a, b) et partageons encore cet intervalle par les points Xj = a, x^, ... Xi, ... .Xn+i = b en parties d'amplitudes o^. On aura

^J{x)dx = \hnîmo^,

le point Ei étant choisi arbitrairement dans l'intervalle Oi et tous les intervalles 0^ tendant vers zéro. En effet, /"(;,) étant comi^ris