I. Si l'on intègre par parties en prenant
•ni ; / cos<rH a? « = sinP"1 x, av =i cosq a; sm a; «a-, v = — >
î + 1 on trouve
sinp— * x cosq+* x , p — lf. „ . 0
y v r, = : — =- sinP-- x cosq+~ x dx
sinP-1 a? COS1+1 x , p — 1
°* yp.q = - -^qpx + ^j/p-w. (C)
En prenant m = cosq 1 v, du —. sinp # cos a; ofac on obtient cosq 1 x si'np+1 x q — 1
La formule (C) si /j > 0. g < 0, et la formule (C) si p < 0, <? > 0 réduisent chacun des exposants de deux unités. Pour plus de clarté, mettons le signe de l'exposant négatif en évidence :
sinP a? . sinP-1 x p — 1 f smp 2 x , ,
dx =■ -. : = dx; (cl
cos'1 a? (y — 1) cos"!"""1 x q — \ ] cosq ~ x
f cos 'a; cosq— 1 a? 7 — 1 fcosq~~2a? , , .
dx = — . * I de. (c)
I sin'1 x [p — l)sinp 1a7 p — 1 J sinp-2 x
Comme le changement de x en T — x ramène la seconde de
ces intégrales à la première, il suffit d'examiner celle-ci. En employant plusieurs fois de suite la formule (c) on réduit l'intégrale proposée à l'une des suivantes :
C dx 1° - ) si p est pair et < q;
J cos^-p.v L x
2° J sinP (K\dx, si q est pair et < p ;
0 C sin x dx . . . , ,
S0 — -r= — ' si p est impair et < q -f- 1 ;
t fsinP-^1 x dx . ,
4° I - -> sio est impair et < p -4- 1 .
J cos x ■=
Les intégrales 1°, 2° et 3° ont été traitées ci-dessus (29, 30, 32).
L'intégrale 4° s'obtient facilement par la substitution sin x = z,
Czv~C[Jf~1dz qui la ramène à — j - — £-> que l'on trouve facilement; on peut
aussi réduire l'exposant de sin x au moyen de la formule (D) donnée ci-après.
II. Si p et q sont positifs, on transforme les égalités (C) et (C) en observant que
*/p-:\q 1 2 =J sinP-2 x cosri x{\ — sin2 x)iœ = i/p 2,q — yP,q ,
yP+2,q-2 = | SÎD.p a; (l — COS2 X) COSq— 2 X dx = yp,q-2 — yp,q.
Substituons ces valeurs et résolvons les équations (C) et (C) par rapport à yp,q; nous aurons
sinP-1 x cos'rH x p — 1
sinP^1 x cosq 1 x q — 1 ,..
L'égalité (D) ramène yp,q à 3*0,1 on àyi>q suivant que p est pair ou impair; l'intégrale yo,q a été traitée ci-dessus (30), et Ton a
cosfl+1 x
III. Si les deux exposants p et q sont négatifs, on renverse les formules (D) ou (D) en considérant yv ?>q ou yP,q-2 comme
étant l'intégrale donnée. La première, si l'on met les signes de p et de q en évidence, prend la forme
dx 1 p -\- 1 Ç dx
sinpa?cos(Ja? (p -f- q) sinp+1aj cos^a? p -f- <Z J sin^+^cosia?
Résolvons-la par rapport à la dernière intégrale et changeons p -\-2 en p; il vient
J sinpa7 cos^a; ^ — 1 J sinp"~2a?cosqa; (;:> — l)siiip— 'a^cos^a?
La formule (Df) donne de même
C dx =P + q-2C dx 1
J sinpa^eqsq5c tf — 1 J sinpa?cosq~2a; (# — l)sinp 1a; cosq— *#
En appliquant plusieurs fois les formules (E) et (E'), on peut réduire les exposants de manière à arriver à l'une des intégrales :
Ç dx Ç 1 dx , Ç dx
\ ~^— ~ ■= I ; i- = fWi3;) —s— = tg a;,
J sm a? cos a; J tg\r cos2a? J cos~a" °
f rfa? f rfo? , , x Ç dx , J Ar a?\
. - = — cot a?, — = / tg - » - = ^ te; - H — •
J sm2a; ' J srna? fe 2 J cosa? b^2T2;
Remarque. — Les formules (c) et (c') sont en défaut lorsque, respectivement, q = 1 ou /> — 1 ; mais on peut alors réduire l'autre exposant au moyen des formules (Dj ou (D') (où l'on remplace q par — 1 ou p par — 1).
Les formules (D) et (D') sont en défaut lorsque p -f- q = 0; ce cas qui a été traité directement (28), peut encore être résolu par les égalités (c) et (c') qui prennent maintenant la forme
Ç , tgP-la? f 9 ,
tgp xa.^ = — j tgp— ^ ar&r,
f ,„ » cot11"1 x Ç J „
cotp awa; = cotp - a?aa\
Les formules (E) et (E') étant illusoires lorsque p = 1 ou q = 1, on fait porter la réduction sur l'autre exposant.
34. Théorème. — Tonte différentielle binôme peut se ramener à la forme sinp x cos'i x dx, et réciproquement.
1° Soit
a et b étant positifs. La substitution bxm = az2 donne
*= — (jj » * » (1 ±^-)q^;
remplaçons encore 2 respectivement par tg £ ou par sin f, etc. 2° Réciproquement, si l'on fait sin x = z, on obtient
sinP x cosq xdx = #p(1 — .s2) 2 ûfe.
Cette différentielle binôme est toujours intégrable lorsque/) et q sont entiers. Car les deux conditions d'intégrabilité sont ici :
~— = entier, ^ h 2-ZL- = entier;
la première a lieu si p est impair, la seconde si p et g sont de même parité. Le cas de q impair donne immédiatement une différentielle rationnelle.
Exercices et notes.
1. sin3 xdx = — cos x 4- 0 cos3 x = — 7 C()S ^ + To cos ^' ! o 4 1^
2 cos7 a?cfa? = siu x — sin3 x -\- - sin5 x — - sinT x. J o 7
3. sin6 xdx = — cos a? f- sin5 a? 4- -- sin3 a? + — sin a? j +
Ç dx sin a? 3 sin a? 3 /-
J cos5a? ~ 4 cos4 a? 8 cos4 a; 8 ë\4
