Cours d'analyse infinitésimale

Name: Cours d'analyse infinitésimale
Author: Joseph Neubert

Idées et philosophieLecture classique17 h 45 de lecture

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De quoi ça parle

Essais, discours, manifestes, pour penser et débattre. 17 h 45 (71 quarts d'heure) de lecture.

Premières lignes

1. Définitions. — On appelle série une somme composée cVun nombre indéfini de termes procédant suivant une loi déterminée.…

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Chapitres

NOTIONS SUR LES SÉRIES15 min
h '"' "" n(» + 1) NEUBERG. — An. In/', I15 min
Séries indéterminées. — Une série est dite indéterminée15 min
Séries imaginaires. — Une série à termes imaginaires15 min
Si a, h, c sont des nombres positifs, la série15 min
III. La série du binôme15 min
IV. Les séries15 min
V. La série15 min
On a vu (8) que la série - 1+ï + rW15 min
T + oT15 min
Démontrer les égalités15 min
Trouver à moins de 0,01 la somme de la série convergente15 min
Si iij > u., > u3 > ... > 0, les deux séries15 min
Si. dans une série positive décroissante, la quantité15 min
a étant supposé que > 1, démontrer que15 min
La suite15 min
Démontrer la divergence de la série15 min
Si | a15 min
IN VI XI M ENT PETITS15 min
Exemples d'infiniment petits. — Soit x an are infiniment15 min
Objet de l'analyse infinitésimale. Les infiniment petits15 min
Scolie. — Les théorèmes précédents peuvent être énoncés15 min
Définition de la dérivée. Etant donnée une fonction15 min
Remarques. — I. Pour h = 0, le rapport15 min
ftf + a;* | ... -f x15 min
Si l'on a15 min
Corollaire. — Quelle que soit la variable indépendante15 min
DÉRIVÉES DES FONCTIONS INVERSES15 min
III. // -: UlX15 min
Remarques. — I. Si y = a", on a15 min
V. y = c' . //' </X . cx = c1 N x15 min
V. y = 3 cotg x I cotg15 min
f- 'ir tg'2 a? COS'2^ COS2 x 4- M2 sin'2.r15 min
DÉRIVÉES DES FONCTIONS COMPOSÉES15 min
Dérivée d'une fonction composée. — Pour fixer les15 min
Remarque. Soit à prendre la dérivée de15 min
Cas d'une seule fonction. — Soit y une fonction de a15 min
II. De l'équation xy -j- yx = 1, on tire15 min
Exemple. — Soit donné le système d'équations15 min
Représentation paramétrique d'une courbe. — Au lieu15 min
eosm ,r eos mx. — m cosm lx sin (?H -f15 min
Prendre la dérivée des deux membres de l'identité15 min
De la relation tg y = tg a tg .v déduire15 min
CHAPITRE IV15 min
Dérivée indéterminée. — Si pour x = x0, le rapport15 min
j- ex15 min
Dérivée d'une fonction imaginaire d'une variable réelle15 min
Application. — Etudier la fonction15 min
Dérivées successives. — La dérivée d'une fonction15 min
II. y = eW*r15 min
III. On trouve aisément la formule15 min
Dérivées successives d'une fonction de fonction. — Si15 min
Dérivées successives d'une fonction composée15 min
Exemple. — x's -\- y* — Sxy15 min
Cas de plusieurs fonctions. — Etant donné le système15 min
Trouver la dérivée ne de y = En partant de15 min
Si 3" = arc tg x, on a15 min
Si l'on fait x = cotg 0, la dérivée n^ de y= , , est15 min
Différentielle totale. — Soit, pour fixer les idées15 min
p dxn-P<)yi> J15 min
Application. — Soit l'équation15 min
Différentielles totales successives. — Soit l'équation15 min
Etant données les équations15 min
THÉORÈMES DE TAYLOR ET DE MAC-LATJRIN15 min
n — 1) Kh J15 min
F11"1^) — (X — *)PP15 min
VI. Si le reste R tend vers zéro à mesure que n croît, on a15 min
II. La série15 min
Posons F(.v) = ex; il vient15 min
Soit F(x) = sin a. Alors15 min
On trouve aisément15 min
Applications de la formule du binôme15 min
De F(*) = Z (1 -f *) on conclut15 min
vx15 min
fa15 min
Calcul de -. — Si l'on fait x = 1, on obtient15 min
gœcosa cos (# sin r/) i | cos rt | cos 9,7 -f15 min
CHAPITRE VII15 min
Fractions rationnelles. — Si nue Traction rationnelle15 min
Extension de la règle de l'Hospital. — Si la fraction15 min
Soit A la vraie valeur d'une fraction ; dont les deux15 min
II. L-* pour .r = | oo15 min
Soit y /* .viri.\>. Si /"(a) = 0, z u oo, écrivons15 min
Supposons que pour x = a l'expression15 min
f 3 cos x15 min
pour a- - (t15 min
pour x 0. il15 min
CHAPITRE IX15 min
Exemples. — I. Maximum ou minimum de a*x15 min
II. Maximum ou minimum de15 min
F(x) = cx -f c~x -h 2 cos a15 min
Fonction implicite. — Etant donnée l'équation15 min
y* - Zxy == 0, | . n* + y» — Sœy = 0, j15 min
II XXX I15 min
Valeurs des variables. — Soit F(a5 b, c) un maximum15 min
Conditions du maximum ou du minimum de u -Fia-, y15 min
II. F(a;,^) = (.v2 — eue) (y* — bx15 min
dx oy oz J15 min
B"2 — AA15 min
II. u = a?î/s(l — #2 — //2 — s15 min
Soit à chercher le minimum d'une fonction15 min
r"' dœ1 H- ... + T^'" dxm -f ... + y'" fltep15 min
u = [x — aY(x — b)'2 f.r — c) , « < 6 < c15 min
k = cos x -f- cos 2x -h cos15 min
TANGENTE ET NORMALE15 min
III. Logarithmique. Cette courbe (fig. iS) a pour équation15 min
Angle de la tangente avec le rayon vecteur. — Soient15 min
Spirales. — Les coordonnées polaires se prêtent très15 min
II. Spirale hyperbolique. — L'équation de cette courbe15 min
La tangente au point (r, 0) d'une courbe a pour équation15 min
Les courbes représentées par l'équation15 min
Applications. — I. y = smx15 min
y = (a? — a) (x — b) [x — c). (Point d'inflexion15 min
NOTIONS DE CALCUL INTÉGRAL15 min
Intégrale générale. — Si, par un procédé quelconque15 min
Intégration de af(x)dx. — Si a est indépendant de x15 min
Intégration d'une somme. — On a15 min
Intégrale d'une puissance de .v. — Considérons la15 min
MÉTHODES D'INTÉGRATION15 min
I . r — are sin , . "* = arc sin15 min
Exemples. — Nous désignons par y l'intégrale proposée15 min
I cos x cos 2a? cos 3x dx -- — r \- — -j15 min
DIFFÉRENTIELLES DE L'AIRE ET DE L'ARC, COURBURE DES LIGNES15 min
A' B' C TV L' M' N' X15 min
Différentielle du segment. — L'aire AA'M'M (fig. 3i15 min
II. Plus généralement (202, Remarque15 min
Î-VS*T15 min
f arc tg -jt15 min
f y'2 dx2 + dy2 r* + r15 min
Le rayon de courbure de la courbe ~F(x, y) — 0 est15 min
CONTACT DES COURBES PLANES15 min
NN15 min
Droite osculatrice. — Une droite ayant pour équation15 min
yn ! -(// — >y-o15 min
DÉVELOPPÉE D'UNE COURBE PLANE15 min
Dans l'hyperbole équilatère représentée par xy m15 min
Trouver l'équation de la développante du cercle15 min
fl^ 47T15 min
On a l'identité de Lagrange15 min
La formule (G) donne15 min
SA15 min
Lieu du centre de courbure. — Les formules (1), si on15 min
Courbes osculatrices. — Soient15 min
L-fM^-h15 min
Tangente. — Des formules (2) et (5), on déduit15 min
Surface des tangentes. — La tangente a pour équations15 min
Normale principale. — On a15 min
Première courbure. — D'après les formules (5) et15 min
Torsion. — Les formules (9) donnent15 min
Une courbe étant définie par les équations15 min
Plan tangent en un point ordinaire. — Soit15 min
r)#~ ^rty d//* da?<te dydz15 min
Plan tangent aux surfaces algébriques. — Soil15 min
CÔNES ET CYLINDRES CIRCONSCRITS15 min
La podaire du centre d'un ellipsoïde a pour équation15 min
Lue surface S étant définie par les formules15 min
OM . OM' = K15 min
Définition. — Une équation15 min
Règle analytique des enveloppes. — Deux combes15 min
La courbe variable est souvent définie par une équation15 min
Exemple. — I. Enveloppe delà normale à une parabole15 min
Exemple. — II. Enveloppe du ne droite AH, de longueur15 min
P J J' on la ramène facilement aux formes15 min
La tangente a une courbe U a pour équation15 min
Enveloppe des droites15 min
POINTS SINGULIERS. ASYMPTOTES15 min
Exemples de points singuliers15 min
Points multiples des courbes algébriques. — Soit15 min
F <PF15 min
y = o?3(l ± t^ #)« Rebroussement en O; point d'inflexion15 min
T ■== \ 6. (Spirale parabolique15 min
Appliquer le § 302 à l'équation15 min
Méthode de Cauchy. — Soit15 min
Asymptotes curvilignes. — La discussion de l'équation15 min
xs — 3xy2 — 1 = 0. Trois asymptotes passant par15 min
ÉTUDE DE QUELQUES COURBES PARTICULIERES15 min
Remarques. — I. £>es égalités (4) et (2), on conclut15 min
Arc de eycloïde. — Les formules (4) donnent15 min
Développée. — Prolongeons MX de NM' MX (fig15 min
Equations de l'épicycloïde. — Prenons pour axes OA15 min
Tangente et normale. — Les égalités (2) donnent15 min
Rayon de courbure. — La tangente taisant avec OX15 min
Epicycloïdes particulières15 min
Cherchons l'arc AM de la chaînette. On a15 min
Soit U l'aire AOPM. L'égalité (5) donne15 min
B(" BO15 min
CHAPITRE XIX15 min
IX- x)F'Jj?,!/} z,a15 min
Considérons les surfaces représentées par15 min
Cas de deux paramètres. — Soit15 min
Coordonnées tangentielles. — I. Soit15 min
OA OU ~ OC15 min
COURBURE DES SURFACES15 min
Théorème de Meunier. -- On appelle section normale15 min
Ombilic. — L'équation (2) devient indéterminée si / r15 min
On peut distinguer trois cas15 min
Seconde définition de l'indicatrice. — Coupons la15 min
Equation différentielle des lignes de courbure. — En15 min
Pour le paraboloïde -I- -, = 2z. on a15 min
CHANGEMENT DE VARIABLES15 min
I. La règle des fonctions de fonction (45) donne15 min
Remarque. — La formule fondamentale15 min
CIX (IX15 min
Application. — Transformer l'équation15 min
Changement de toutes les variables. — Soit z une15 min
Transformer l'expression15 min
Si l'on pose15 min
Théorème. — Soient des séries convergentes15 min
Théorème. — Soient15 min
Définitions. — Les formules15 min
Formules d'Euler. — D'après ce qui précède15 min
Opérations sur les exponentielles imaginaires. - Les15 min
Lignes hyperboliques. — Les valeurs de cos (xi) et15 min
De l'équation15 min
L'analogie des équations15 min
Théorème. — Si" une série entière15 min
Cercle de convergence. — D'après ce qui précède, une15 min
Théorème. — Une série15 min
Théorème. — Deux séries entières15 min
Soit y une l'onction de x et a, définie par l'équation15 min
da15 min
MÉTHODE DES COEFFICIENTS INDÉTERMINÉS15 min
Retour des suites. — Etant donnée la série convergente15 min
SI 11 X15 min
f-«i)(l -}- *2)(l A- y-, • est convergent, si la série15 min
Développement de sin x en produit infini. — On a15 min
SM15 min
Conséquences des formules15 min
ne15 min
Développement de ^Z\ ~~ Posons15 min
Développements de x cot .v et de fcg .v. — On a15 min
II15 min
Résoudre l'équation trinôme xm H -\-<zx15 min
Développer le produit (1 | -,v; l j .v:;- 1 ; .vr15 min
h ' 2Î2n — lf l15 min
CHAPITRE XXV15 min
ligne 8, au lieu de - , lire : t15 min
IN 1 «"O15 min
Décomposition d'une fraction rationnelle. (**) — Pour15 min
II. Si F .y) a des racines multiples, soit par exemple15 min
Intégration des fractions simples. — D'après ce qui15 min
La substitution a* — a = fte l'amène la 4e intégrale à15 min
Exemples15 min
C-*+ ly»(**— 1) 2(*8-H15 min
f- 2s2 — 4s + Al[z -f lj15 min
Recherche de l'intégrale fondamentale I • — A15 min
VI15 min
HOC15 min
Wïl 1- ^ - 2~/2arCtg -ï15 min
On appelle ainsi les différentielles de la forme15 min
Exemples15 min
Exemple. - y, = | y15 min
J VI — «P15 min
VI15 min
zp =- lY - — -arc tgj, ou15 min
On rencontre fréquemment les intégrales15 min
Pour trouver15 min
Intégration de tgP x dx, p étant positif. Posons15 min
II. Soit maintenant p négatif. Si p — — 2m, on observe que15 min
I. A cet effet, intégrons par parties en prenant15 min
Si p est entier et positif, la formule (A) donne15 min
s— = tgP a; . (1 + tg2 a?)11-1 d tg a15 min
I. Si l'on intègre par parties en prenant15 min
I — - dx = cos x 4- séc .t15 min
o (lo sm x — u sm3 x — 2 sin5 a15 min
b cos a?)P Posons a -f- 6 cos a? = xr ; alors15 min
Si Ton fait15 min
f- a\t cos(a; -- ax15 min
Trouver15 min
i = = 1/2 ( cos - + / sin15 min
CHAPITRE III15 min
DU15 min
Exemples15 min
OB = \-, OD \^-, OF15 min
OB' OD15 min
J OA15 min
Formule de Wallis. — On a15 min
Applications15 min
Si m et n sont des nombres entiers inégaux15 min
Si a est positif, on a15 min
a et b étant des constantes inférieures à l'unité, on a15 min
Démontrer que15 min
INTÉGRATION DES SÉRIES15 min
Théorème. — Si la série15 min
Trouver l'intégrale définie15 min
J \CLX — X15 min
Dé m outrer que ( — 1 < x15 min
Formules de quadrature15 min
SI15 min
Aire de l'ellipse15 min
Quadrature de la parabole (pg15 min
Quadrature de l'hyperbole {fig15 min
Podaire du centre d'une conique15 min
Formules de rectification15 min
Arc de parabole.— Soit .s l'arc AM (fig. 6). L'équation15 min
AM = MR + ^2(AR15 min
V - | v(z)dz = * (:U//3 + 4B/r + 6Ch 4- 12 D)//. J o15 min
Trouver l'aire totale limitée par la courbe15 min
Trouver l'aire du secteur d'une conchoïde de Xicomède15 min
Aire de la courbe15 min
Trouver le volume limité par la surface15 min
Volume d'un conoïde elliptique15 min
La surface engendrée par la cardioïde15 min
INTÉGRALES CURVILIGNES15 min
CUBATURE DES SOLIDES EX GENERAL15 min
V. Pour trouver le volume limité par une surface fermée15 min
Z\ ~\- ZZ15 min
Volume en coordonnées semipolaires (flg. s3). — Les15 min
V - di) r\J a% — r2dr15 min
r Jp-p15 min
Intégrale double. — Soit à transformer l'intégrale15 min
j ^ jj F(.r, V, Sjflte15 min
Différentiation par rapport aux Jimites. — L'intégra^G15 min
KO 3^ = i?5< h G c £ c15 min
Soit15 min
Applications. — 1° On a15 min
C -f tS = f c~ax(cos 6a? + i sin bx)dx = \ e axV)xl dx15 min
Intégrale de Poisson. — On appelle ainsi l'intégrale15 min
Calcul des intégrales15 min
fl + 1) f00 • dx15 min
o dx15 min
Définition de r(/i). — L'intégrale15 min
X --■■ -0 yi!.r» -p W/.r 8 y ' (X» i'-l) = 0 ^ i15 min
Valeur de r(ji) pour n non entier. — La formule15 min
Valeur de V(n) pour n négatif. L'égalité (4; peut15 min
Transformations de r(n). — Si l'on pose e x y, on a15 min
Soit encore à chercher la valeur de l'intégrale15 min
KI15 min
Soit15 min
l[\ -j- a cos a;) dx = iz l15 min
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES15 min
Première méthode d'intégration. — Si M.dx \- Ndy est15 min
Seconde méthode. — De'- - = -M on déduit15 min
Applications. - 1° Intégrer15 min
Intégrer15 min
Théorème. — Pour quune intégrale15 min
OF OF15 min
X,, X., Xn étant des fonctions données des variables15 min
tf« = - -+ . ,- C/.- . [U15 min
GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES15 min
Exemples15 min
Recherche d'une intégrale par le théorème de Taylor15 min
Exemple. — Soit à intégrer15 min
Vérifier que l'équation15 min
Equation différentielle des paroboles d'un même plan15 min
Séparation des variables. — Si l'équation a la forme15 min
II. Si l'on avait identiquement15 min
XJ X \ XJ15 min
Seconde méthode. — Pour intégrer l'équation homogène15 min
VT15 min
Equation de Jacques Bernoulli. — On appelle ainsi15 min
Equations réductibles à la forme homogène. — Une15 min
III. Considérons l'équation (1) sous la forme15 min
ID15 min
Intégrer (1 — x'l)dy -\- xy dx = a.*(l — a;2) y// efoe15 min
a? + 2y + 5)dx -f (4a? -f 3y -f 7)rty15 min
OM MN MN15 min
Si les fonctions M et N" vérifient la condition15 min
Propositions sur le facteur intégrant15 min
I JU15 min
Quand existe-t-il un facteur intégrant, fonction de15 min
Trouver le facteur intégrant de l'équation15 min
MÉTHODES D'INTÉGRATION15 min
Exemples15 min
CCX CIX (XX15 min
Equations du premier degré par rapport à x ou y15 min
Équation de Clairaut. — En différenciant l'équation15 min
Exemples. — 1° p3 — ~p2 = (y15 min
f- mm15 min
Applications15 min
Trajectoire en coordonnées polaires. — Cherchons15 min
Lignes de plus grande pente d'une surface. — Une15 min
Y=PX- "P15 min
Intégrer15 min
Démontrer que l'intersection des deux paraboloïdes15 min
Exemples15 min
III. p2 — x15 min
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES D'UN ORDRE QUELCONQUE15 min
Exemples. — 1° La valeur15 min
En intégrant plusieurs fois de suite, on obtient dm~1y15 min
CL ^ (?4X15 min
Exemples. — 1° y" + .v'7'0/) = <p(y15 min
Equations homogènes par rapport à y, y', y15 min
Intégrer l'équation ay" = y15 min
Intégrer A7/1V — 3j/" — a15 min
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES15 min
Solution générale de l'équation linéaire homogène15 min
Equation caractéristique. — Considérons l'équation15 min
Exemples. — 1° y" — n'y15 min
Exemples. — 1° y" — 4'y 4 4y15 min
Exemples. — 1° y" 4- nHj15 min
W , ^ W , « III15 min
Application. — Considérons l'équation du second ordre15 min
Méthode par la solution particulière. — Considérons15 min
Exemples15 min
Etant donnée une équation linéaire homogène15 min
Soit l'équation15 min
Application. — x2y" — 2a?y + 2y = a?2 + ^ -f g15 min
ym — Zy"-\-1y} — 5y15 min
ym — 5j/" -f 8y' — 4y = cvzezx15 min
Soient deux équations simultanées15 min
Considérons d'abord une équation unique15 min
Système intégral. — Soit à intégrer le système15 min
Définitions. — Un système d'équations différentielles15 min
S5 + Y.V + V + ...+TV15 min
Application. -^—Ay — 2z=x15 min
XX CIX (XX15 min
R 4- Ri6 4- R2^ = x + x,e 4- x2x15 min
Autre méthode. — Soit d'abord le système homogène15 min
Trajectoire orthogonale d'un système de surfaces15 min
Exemple. — Trouver les trajectoires orthogonales des15 min
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES15 min
Cas où l'on donne une seule dérivée partielle. — Ce15 min
Nc/y 4- Pdz15 min
dy15 min
Équations homogènes. — Lorsque M, X, P sont des15 min
Intégrer y efa? — xdy — ote = 0. — Solution : z ■= Cey15 min
L'équation15 min
Soient15 min
Surfaces développables. — Une surface développable15 min
Pf(*) = (* - «)/"(«) ~l . PVW15 min
pF + (»' + zF'j g, 1 = 9F + (,' + 2F') g15 min
VV-f qz -f15 min
Soient z une fonction de deux variables indépendantes15 min
Surfaces de révolution. — Les surfaces de révolution15 min
Intégrer px — qy = — Solution : z = iy- -\- v(xy15 min
sp —aq = 2x — 2y15 min
Même problème pour les surfaces xyz = X15 min
Intégration de l'équation linéaire15 min
Application. — Intégrer l'équation15 min
II. Si, entre a et b, on établit une relation15 min
Intégration de l'équation15 min
Exemples. — 1° z = pq15 min
Cas particuliers15 min
UWo15 min
o = (~ -fpo?)2. — Intégrale: ;^ f15 min
Exemples. - 1° d" = a15 min
A, B, C, D étant des constantes, intégrer15 min
EMY15 min
xr -f- ys = I5xzy15 min
s/> — r</ = 0. — On peut écrire15 min
PP15 min
DÉFINITIONS ET NOTATIONS15 min
Bans le calcul de SU, nous rencontrerons la quantité15 min
Soit à trouver la variation de l'intégrale définie15 min
V étant une fonction de x, y, p, q, on a15 min
Soit à chercher le maximum ou le minimum de l'intégrale15 min
On a trouvé15 min
Equation de la courbe. — Pour intégrer l'équation15 min
Autre méthode. — Cherchons directement la variation15 min
VV15 min
Exemples15 min
V-Pp + Q£-P§ + c15 min
Soit à chercher le maximum ou le minimum de U= Vdx15 min
Passons à la détermination des constantes15 min
La variation de j / '(y, p) dx est15 min
rfa15 min
Application. — Soit à développer la fonction15 min
E R RATA15 min
Chapitre I. — Intégration des différentielles algébriques15 min

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