IV. — EXTENSIONS DIVERSES DE Li NOTION D INTEGRALE

contour C est égale à la différence des aires polygonales limitées par les droites Aa, ai, 6B et les lignes brisées inscrites dans les arcs Am^B et A;72|B. En passant à la limite, on en conclut que l'aire de la courbe C est égale à la différence des aires limitées par

Fig. i5.

les deux contours Am2B6aA et A/WjB6aA, c'est-à-dire à la différence des deux intégrales

/ ^t{x)dx — / ^x{x)dx.

Les deux intégrales représentent l'intégrale curviligne j ydx^

prise le long de A/W2B et le long de Ami B, Si nous convenons de dire que le contour C est décrit dans le sens direct lorsqu'un observateur debout sur le plan et décrivant ce contour laisse à sa gauche Taire enveloppée (les axes ayant la disposition habituelle, comme dans le cas de la figure), le résultat obtenu peut s'exprimer comme il suit : L'aire û enveloppée par le contour fermé C a pour valeur

û = — f ydx,

l'intégrale curviligne étant prise le long du contour fermé C dans le sens direct. Cette intégrale ne changeant pas, quand on déplace l'origine des coordonnées, la formule subsiste, quelle que soit la position du contour C par rapport aux axes de coordonnées. Considérons maintenant un contour C de forme quelconque.

212 CHAPITRE IV. — INTEGRALES DEFINIES.

Nous supposerons qu'on peut, en menant des transversales joignant deux points de C, obtenir des contours partiels dont chacun n'est rencontré qu'en deux points par une droite parallèle à O^'. Tel est le cas de la région limitée par le contour C de \di Jig. i6

Fig. i6.

que l'on décompose au mojen des transversales a6, cûf, en trois régions limitées respectivement par les contours amha^ abndcqa, cdpCy à chacune desquelles on peut appliquer la formule précédente. En ajoutant les résultats obtenus, les intégrales curvilignes provenant des lignes auxiliaires aé, cd se détruisent, et Taire

limitée par C est encore égale à l'intégrale curviligne — j yda:, prise le long de C dans le sens direct.

On démontre de la même façon que l'on a

(3i) û= f xdy,

et, en combinant les deux formules, il vient (32) û=- f xdy—ydxy

les intégrales étant toujours prises dans le sens direct.

Par exemple, l'aire de l'ellipse, représentée par les formules

X — acost^ y = bsint, a pour expression