IV. — BXTBXSIONS DIVERSES DE LA NOTION O'iNTÉGRALE

luer Taire limitée par le contour OAMBO {fi g* 17), formé des deux droites OA, OB et de l'arc AMB, qui n'est rencontré qu'en un point au plus par une droite issue de O. Prenons le point O pour

Pig. 17.

pôle, pour axe polaire une droite Ox^ et soit p =y*(o>) l'équation de l'arc AMB.

Inscrivons une ligne polygonale dans cet arc AMB, et soient M, M' deux sommets voisins ; l'aire cherchée est la limite de la somme des triangles OMM'. Or l'aire du triangle OMM' a pour expression

- p(p -♦- Ap) sinAo) = Aa>( ^ — H e ),

e étant infiniment petit avec Ao>. On vérifie aisément que toutes les quantités analogues à e peuvent être supposées moindres que tout nombre donné t^ pourvu que tous les angles Ato soient assez petits. On peut donc négliger e Aoj dans la recherche de la limite ;

l'aire cherchée est la limite de la somme ^^ -- Ato, c'est-à-dire l'intégrale définie

(Oi et (i>a étant les angles que font avec Ox les droites OA et OB. Une aire limitée par un contour de forme quelconque est la somme ou la différence d'un certain nombre d'aires limitées comme la précédente. Si l'on veut, par exemple, évaluer l'aire d'un contour fermé entourant le point O et rencontré en deux points seulement par une droite passant par le point O, il suffira de faire varier o> de o à 271. L'aire d'un contour fermé convexe laissant le point O à l'extérieur {^fig- 17) est égale à la différence des aires des deux secteurs OAMBO, OANBO, qu'on calculera

2f4 CHAPITRE IV. — INTÉGRALES DÉFINIES.

comme on vienl de l'expliquer. Dans tous les cas, Paire est encore

représentée par l'intégrale curviligne - / p^rfco, prise le long de C

dans le sens direct. Cette formule ne difTère pas au fond de la précédente; en effet, quand on passe des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires, on a

a? = pcos(i), ^=psin(i),

dx = coso) dp — p s'inoi dt»>y dy — sinto dp -+- pcostoc^w,

X dy — y dx — p^dio.

Considérons encore un arc de courbe AMB représentée en coordonnées obliques par l'équation y=/(^x). Pour évaluer Taire

limitée par l'arc AMB, l'axe des x et les parallèles AAo, BBo à l'axe Oy, imaginons une ligne polj^gonale inscrite dans AMB, et décomposons Taire du polygone en petits trapèzes par des parallèles à Oy. L'aire d'un de ces trapèzes a pour expression

{xi — Xi~i ) sino,

ce qui peut encore s'écrire (xi — ^/-i)/(Ç/) sin8, ^/appartenant à Tintervalle (a?<\-i, Xi)- L'aire est donc égale à Tintégrale définie

sinO I f{x)dx.

On en déduit, comme plus baut, que Taire limitée par un contour fermé quelconque C a pour expression

^ I X dy — y dx,