IV. — EXTENSIONS DIVEB8E8 DE LA NOTION D'INTÉGRALE

Remarque. — Étant donnée une courbe fermée C {fig* i5) menons en un point M de cette courbe la direction de la normale qui va vers l'extérieur, et soient a, ^ les angles que fait cette direction avec les axes O^, Oy, ces angles étant comptés de o à ic. Le long de Tare Ami B, l'angle ^ est obtus et l'on ^dx'= — ds cos P, de sorte que l'on peut écrire

/ y dx = — lycos^ds,

•^(Am.B) ^

Le long de B/Wj A, l'angle ^ est aigu, dans l'intégrale curviligne le long de B/n2A, dx est négatif, et si l'on convient de regardera* comme toujours positif, on a encore dx = — J^cos^. L'aire de la courbe fermée est donc représentée par l'intégrale

y cos p dsy

l'angle ^ étant défini comme on Ta dit, et ds étant essentiellement positif. La formule s'étend comme plus haut à un contour de forme quelconque, et l'on verrait de même que l'aire est égale aussi à l'intégrale

X cosoL ds.

Cet énoncé est absolument indépendant de la disposition des axes.