I. — INTÉGRATION DBS FONCTIONS BATIONNBLLBS

Ed continiiant de la sorte, on sera ramené à Tintégrale

r tir

qui s'exprime par un logarithme si B*— AC>o, et par un arc tang si B«-AC<o.

Prenons encore l'intégrale

OD a l'identité

5x»-l- 3ar — I = 6^(x«-f- i) — ( J?*-h 3a: -h i), ce qui permet d'écrire

^jrM- 3 a; -m;» ""J (x^~-i-'^x h- i)3 ^ J (x^-^ ZxTiy^' En intégrant par parties la première intégrale, on a

/6(T*-hi)d.v -^x r clx

il reste, par conséquent,

' 5 ir' H- 3 37 — I

dx =

(ar^H- 3 J7-+- I)' (-F'-t- 3 J7 -h ij«

Remarque, — Dans l'application de la méthode de M. Hermite, on a à résoudre le problème suivant : Étant donnés trois polynômes A, B, C, de degrés m, n, p respectivement, \ et ^ étant premiers entre eux, trouver deux autres polynômes a et v tels que l'on ait identiquement Am-+- B(^ = C.

Pour trouver les polynômes u et p du plus petit degré possible répondant à la question, supposons d'abord que/? est au plus égal à m -+- n — i. On peut alors prendre pour a et p des polynômes de degré n — i et m — i respectivement. Les m-\-n coefficients inconnus sont déterminés par un système de m -{- n équations linéaires non homogènes, dont le déterminant ne peut être nul; autrement on pourrait trouver deux polynômes u et V de degrés n — i et m — i au plus donnant lieu à l'identité A a -t- B p = o, ce qui exigerait que A et B eussent un facteur commun.

Si le polynôme G est de degré m-t-n ou de degré supérieur, divisons G par AB de façon à avoir un reste G' de degré m-r-n — i au plus; C = ABQ-4-G'. La relation Aa -h Bv = G devient, en posant u — BQ = ai,

Awi-h Bp = G',

et l'on est ramené au cas précédent.