I. — INTÉGRATION DES FONCTIONS RATIONNELLES. ïUj
fraction
A J . . . Ay;
cl ainsi de suite, on mettra ~ sons la forme annoncée.
11 nous suffit donc de inonirer comment on peut trouver la partie rationnelle d^ine intégrale telle que
OÙ 5(\rjesl un polynôme premier avec sa dérivée. D'après le lliéorème déjà rappelé, on peut alors trouver deux autres polynômes B et C donnant lieu à l'identité
Bo(.r I f- Gçp'(.r ) — A et nous pouvons écrire l'intégrale |)récédenle
rXdr TBo-J-Co' rn^jr fr^^'ff^ J ?'* J ?"~ ^^ J ?" ' J ^ ?" *
Si n est supérieur à un, intégrons par parties la dernière intégrale en posant
il vient
et, en portant dans la relation précédente, on a
A, désignant un nouveau polynonic. Si n >» u, on peu! appliquer le même procédé de réduction à la nouvelle intégrale, et ainsi de suite; on ne sera arrêté que lorsque l'exposant de o au dénominateur sera é;;al à un et l'on obtiendra alors une relation de la fornie
A d.r .. r •i' dr
R(.r) étant une fonction rationnelle de x et 'l un pol} nome que l'on peut toujours supposer de degré inférieur à celui de '^, mais qui n*est pas nécessairement premier avec tp. Pour calculer celle
24o CHAPITRE V. — INTÉGRALES INDÉFINIES.
dernière intégrale, il faudrait connaître les racines de o, mais rintégrat^ion n^introduirait aucun terme rationnel. En effet, la
fraction -> décomposée en fractions simples, ne donnera que des
termes tels que
et l'intégrale de chacun d'eux est une fonction transcendante.
La méthode permet en particulier de reconnaître si l'intégrale d'une fonction rationnelle est elle-même une fonction rationnelle. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit qu'après avoir poussé la réduction aussi loin que possible tous les polynômes tels que i^ soient nuls.
On remarquera que la méthode qui a été suivie plus haut pour réduire rintégrale la n'est au fond qu^un cas particulier delà méthode précédente. Prenons encore rintégrale plus générale
dr
(Ax=2^T-î4B.r-HC/' on a ridentilé
A(Ax2-^'2B:r-f-C) — (Ax-r-B)^:^ AC — B«, ce qui permet d'écrire
r dx^ A^ r dx
J (A.H-i- ihx-¥- Cy' " AG — B V (AV^-h ^Bx -i- G)"-»
(Aa7-t- B)^/.r
ÂG-^ûi/(A^+B).
(Air2-h'2Bj'-+- C)« En intégrant par parties la dernière intégrale, on a
fiS.x-^\\)- '"^^J^^ ^^ Ay-i-B
J^ ^'"~ ^ (\.r*H -iB.r-f- G)'* *^ vit /i — ij( Ax^ -t-"2B:r -h G)«-»
A r dx
~^^ in — ïj (Aa:2-h2Bjr-i-G)«-»
cl la relation précédente nous donne
r dx A^-f-B
,/ (A.r-i ~'i\lx-^ C)« " 'liii-^x ){\C —n^CXx-'— '1 Wx -+- Cy^^
'^ in — 1 ÀG - n^J ( Au'2 ~TB j^ G)"-* *
