I. — INTÉGRATION DBS FONCTIONS RITIONNELLBS

premier degré, et sonl par suite des fonctions rationnelles de t. Cela posé, lorsque le Irinome Aj:^ -H aBj: -+- C a ses racines imaginaires, le coefficient A doit être positif, car autrement ce Irinome serait négatif pour toutes les valeurs réelles de x. La conique (i) est alors une hyperbole, et en coupant cette hyperbole par une droite parallèle à Tune des asymptotes

OD obtient, pour les coordonnées du point d^intersection.

Lorsque A <! o, la conique est une ellipse et le trinôme \x^-^%Bx-^ C

doit avoir deux racines réelles a el 6, sans quoi ce trinôme serait négatif pour toutes les valeurs réelles de x. Le changement (le variables indiqué tout à Theure est précisément celui que Ton obtiendrait en coupant la conique par une sécante mobile

Soit, par exemple, à calculer Tintégrale

La conique auxiliaire y^^= x^ -\~ k est une hyperbole et, en coupant par une droite parallèle à l'asymptote x -{-y = t^ on a, pour les coordonnées du point d'intersection,

^ dt /t*-hk\ rdx f ht dl 1

En revenant à la variable x^ il vient

dx X — \/x^ -H A- T I

et ensuite

(3rî l X:)' A: v/x2 -h k k^x^-^k ^'

le second membre n'étant déterminé qu'à une constante près.

D'une façon générale, si AG — B^ n'esl pas nul, on a dx I A j: -h B

(Aa?»-t-aBa7-i-C)

\ AG — B» /Ax»-haB^-i-C

Dans certains cas, il est plus facile de trouver l'intégrale directement, sans faire disparaître l'irrationalité. Nous prendrons pour

exemple l'intégrale

v/A"a:«-t-9.Bx-+- G Si le coefficient A est positif, on peut l'écrire

^ kdx

r s/Hdx ^ r

J v/A2^»-t-2ABar-hTG ~ J \

v/(A:r-hB)«-hAG — B« et, en posant Plx + B = ^, elle devient

J f ^ =-Liog(^4-v/^»-i-AG-B«).

/a J v^f2H-AG — B« v^A

En revenant à la variable x, il vient donc

f-, ^^ - =-^log(A37-t-B-hv/Âv/Àarî-H2Bar-f-C).

J /A^2^.2B:r-hG /X ^

Lorsque le coefficient de x^ est négatif, on peut écrire l'intégrale

dx^ ^ r \jKdx

/— Ar^^TÏ'B^^^ J y/AG^Bî — (A:f — B)«' ^'

la quantité AC -h B^ est forcément positive et en posant

Aar — B = ^ y/ÂG h- B*,

on est conduit à l'intégrale

i r dt I

v/aJ v^i-/8 /a

Par suite, l'on a

dx I . A a? — B

: arcsin-

Aj7»4-2Ba:-+-G /a /AG-i-B»

il est facile de vérifier que, lorsque x varie entre les deux racines du trinôme, la fonction sous le signe arc siii varie entre — i et -f- i.