I. — INTÉGEATION DES FONCTIONS EATIONNBLLES

Dans le cas intermédiaire où A = o^ sans que B soit nul, Tintégraleest algébrique

Les intécrales / , ^ ^ se ramènent aux pré-

^ J (j. — a)/Aa:»-haBx-hC ^

cédentes en posant j: = cr -h - ; on trouve, en effet,

J (x — a)v/Arjr»-^~2B^ïVG J v/Ai7*-f-2B,>'-i- Cl'

où

A, == Aa«-4- 2Ba-+-C, B, = Aa-+-B, G, = A.

Il convient de remarquer que Tinlégrale est algébrique si a est racine du trinôme sous le radical, et dans ce cas seulement.

Considérons encore l'intégrale j ^x'^-i- Âdx, Une intégration par parties donne

/^a;*H- Xdx =z X ^x^ -+- A — / -7- -= ; J /a?*4-A

d'autre part, on peut écrire

J yJx^-\-k J J v/x«-hA

-- Ç)/x^ -f- A Jx — A Iog(j' -\- v/x«~À),

et Ton tire de ces deux relations

(2) / ^x^ -\- kdx = - ^x^ -+- A H Iog(a^-^ /ir^TÂ),

J /jr^TÂ a^ a ^^ ^

On établirait de même les deux formules

J a^ — x^dx — - Ja^ — x^ -\ arc sin ~ >

... r x^dx X /-- a* . X

(5) I — = ^ a^ — x^ -\ arc sin- •

J /at X» 2 1 a

106» Aire de l'hyperbole. — On rencontre les intégrales qui précè-

dent quand on cherche à évaluer Taire d'un secteur d'ellipse ou d'hyperbole. Prenons l'hyperbole

et proposons-nous d'évaluer Taire du segment AMP limité par Tare AM, Taxe des x et l'ordonnée MP. Celte aire est égale à l'intégrale déOnie

.. « c'est-à-dire, d'après la formule (2), à

Or on a MP —y = - /ar« — a*, et le produit x ^x^— a* représente précisément Taire du triangle OMP; on en conclut que Taire S du

secteur OAM compris entre Tare AM, le rayon OA et le rayon OM a pour expression

Cette formule permet d'exprimer les coordonnées x tt y d'un point M de l'hyperbole au moyen de Taire S. On tire, en effet, de la relation précédente et de Téquation de l'hyperbole

et, par suite,