I. — PROCÉDÉS DE CALCUL. — FORMULE DE GREBN

rectangle x=^ a^x^^b^ y=:Cy y =^ d, dont les côtés passent par les quatre points A, B, C, D pour lesquels j: ou ^ est maximum ou minimum. Soient (')j'i = ;pi(^),^2= ^^{x) les équations des deux arcs de courbe ACB, ADB; soient de même oti = ^i (y), X2=<J*2(^) les équations des deux arcs de courbe CAD, CBD; ^\{x) et ^2{x) sont continues entre a et 6, ^i(^) et ^^{y) sont continues lorsque^ varie de c à cf. On peut calculer l'intégrale double d'une fonction /(x, y)^ continue à l'intérieur de ce contour, de deux façons différentes et, en égalant les deux expressions obtenues, il vient

(8) f "^ f 'fi^^y)^y=' f ^y f /(^'^)'^î

on voit que les limites sont tout à fait différentes dans les deux inlégrales. Tout contour convexe fournit une formule de cette nature. Par exemple, si l'on prend pour champ d'intégration le triangle limité par les droites y = o, j: = a, j^ = j:, on parvient à une formule donnée par Lejeune-Dirichlet,

\ dx f f{x,y)dy=z f dy j f\^x,y)dx,

125. Analogies avec les intégrales simples. — L'intégrale / f(t)dt,

considérée comme fonction de x, a pour dérivée /(.r). Il existe un théorème analogue pour les intégrales doubles. Soit/(ar,^) une fonction continue à l'intérieur d'un rectangle limité par les droites a? = a, x — k^ y = h^y = B, (a < A, 6 < B). L'intégrale double de /(a?, y), étendue à l'aire du rectangle limité par les droites x =^ a^ ar = X, j^ = 6, ^ = Y, (a<X<A, 6<Y<B), est une fonction des coordonnées X, Y du sommet variable, que l'on peut écrire

F(X, Y)= Ç dx Ç f{x,y)dy.

Soit 4>(x)= / f{Xyy)dy\ une première différentiation par rapport

^=4»(X) = J /a,y)dy,

^b à X nous donne

^F dX

(') I-e lecteur est prié de faire la figure.

et, en dilTéren liant de nouveau par rapport à Y, il vient

La fonction la plus générale u(Xj Y) satisfaisant à la relation précédente (9) s'obtiendra évidemment en ajoutant à F(X, Y) une fonction z

dont la dérivée seconde -^^-r^ sera nulle. Elle est donc de la forme (n^SS)

(10) u(X,Y)= f dx f /(^,r)^r-^?(X)-+-4'(Y),

(p(X) et <KY) étant deux fonctions arbitraires. On peut disposer de ces deux fonctions arbitraires de façon que, pour X = a, u{X, Y) se réduise à une fonction donnée V(Y) et, pour Y = 6, à une autre fonctico donnée U(X); ces deux fonctions étant liées nécessairement par la relation U(a) = V(6). En faisant successivement X = a, Y = 6 dans la relation précédente, on a les deux conditions

V(Y)=<p(a) + .KY), U(X) = <p(X)4-4.(6); on en tire

4;(Y) = V(Y)-cp(a), 4;(6) = V(6)-cp(a),

9(X) = U(X)-V(6)-hç(a) et la formule (10) devient

(11) a(X,Y)= r dxf f(x,y)djr^V(X)^y(Y)^\(b).

Réciproque me nCf si, par un moyen quelconque, on a obtenu une fonction u(X, Y) vérifiant la relation (9) on trouve, par un calcul tout pareil au précédent, que l'on a, pour valeur de l'intégrale double

(11) J dxj f{x,y)dy = u{X,\)-u(X,b)--u(a,\)^u(a,b).

Cette formule est analogue à la formule fondamentale (6) (voir p. 173).

La formule suivante offre aussi une certaine analogie avec la formule d'intégration par parties.

Soit A une région finie du plan, limitée par une ou plusieurs courbes de forme quelconque. Une fonction /(TjJ'), continue dans A, varie entre un minimum Vq et un maximum V. Imaginons qu'on ait tracé les courbes de niveau f{Xi y) = c, où v est compris entre i'o et V, et supposons que Ton puisse trouver l'aire de la portion de A pour laquelle /(x, y) est compris entre Pq et p. Cette aire est une fonction F(c)qui croît avec p, et l'aire comprise entre deux courbes de niveau infiniment voisines est égale à F(v-f- Ap) — F(«^) = AcF'(i'-4-6A('). Si l'on décompose cette aire en