I. — PEOCÉDÊS DE CALCUL. - FORMULE DE GREEN. 29I

convexe, analogue à une ellipse. Décomposons encore le champ d'Intégration R en parties plus petites par des parallèles aux axes; nous aurons d'abord des parties régulières y qui seront des rectangles intérieurs au contour, et en outre des parties irrégulières, c'est-à-dire des portions de rectangle, limitées en partie par des arcs du contour. Nous avons encore à chercher la limite de la somme

0) étant Taire d'un quelconque de ces éléments, et (Ç, yj) un point pris dans cet élément.

Évaluons d'abord la portion de S provenant d'une file d'éléments compris entre les deux parallèles voisines x =^. x/^i , œ = Xi, On a d'abord entre ces droites des rectangles allant du sommet d'ordonnée y', ^yi au sommet d'ordonnée j^^^j^a, puis des parties irrégulières. En prenant convenablement le point (Ç, r,) dans chaque rectangle, on verra comme tout à l'heure que la portion de S provenant de ces rectangles peut s'écrire

Supposons que l'oscillation des deux fonctions cpi et cp2 dans chacun des intervalles (^/i, xi) soit moindre que 8, ainsi que toutes les différences [y^ — yh-\)' L'aire des parties irrégulières comprises entre x =rz Xi t et x^^xi est alors, comme on le voit aisément, inférieure à 4 5(x/ — ^/i), et la portion de S provenant de ces parties est moindre en valeur absolue que 4 H o(:r/-- Xi y ), H étant la limite supérieure de la valeur absolue de /(^, y) dans le champ d'intégration. D'autre part, on peut écrire

r V(^/-i>r)^r- f 'A^i-uy)dy-r f ' -^ f \

Jy.^ Jy^ Jy.^ Jy^

et comme |^| — y\ \ et \y^ -y'^ \ sont inférieurs à 2 o, on a

f 'f{o^i-uy)dy^ f 'f{xi^uy)dy-^Mm, -i<X<-+-i. La portion de S qui provient de la file d'éléments considérée peut

29a CHAPITRE VI. — INTEGRALES DOUBLES.

donc s'écrire

6/ étant compris entre — i et -j- i. La somme 8H8S9|(^/ — x/i) est moindre en valeur absolue que 8H S(6 — a) et tend vers zéro puisque l'on peut supposer S aussi petit qu'on le veut. L'intégrale double est donc la limite de la somme

^{a){xi — a) -\- . . .-\- ^{Xi-i)(xi— Xi-i) -i- . . . en posant

on a, par conséquent,

(7) / / A^yy)dxdjr= f dx I f{x,y)dy.

La première intégration doit encore être effectuée en regardante comme constant, mais les limites y^ et ya sont elles-mêmes des fonctions de x^ et non des constantes.

Exemple, — Soit à calculer TiQtégrale double de la foDCtioa — à Tintérieur d'un quart de ceç-cle limité par les axes et la circonférence

x^-^y^— Ri = o.

Les limites pour x sont o et R, et, x restant constant, j^ peut varier de o à /R* — x^. L'intégrale a donc pour expression

cette intégrale s'obtient aisément et a pour valeur

Lorsque le champ d'intégration est limité par un contour de forme quelconque, on le décomposera en. plusieurs parties, de façon que le contour de chacune d'elles ne soit rencontré qu'en deux points par une parallèle à l'axe Oy. On pourrait aussi ie décomposer en parties telles que le contour de chacune d'elles ne soit rencontré qu'en deux points par une parallèle à Ox^ et commencer par une intégration relative à la variable x. Prenons, par exemple, une courbe fermée convexe comprise à l'intérieur du