II. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

OÙ X désigne un paramètre arbitraire. Par tout point du plan passent deux coniques de cette espèce, une ellipse et une hyperbole, car l'équation (19) a, quels que soient x et y^ une racine X supérieure à c*, et une racine positive fx, inférieure à c'. De la relation (19) et de la relation analogue, où X est remplacé par fx, on tire

v/(X — c«)(c«- (iT)

(olfjilc«£X).

pour éviter toute ambiguïté, nous ne considérons que la région du plan

Fig. a8.

or*-+ r -—3

des xy située dans l'angle xOy. Cette région correspond, point par point, d'une façon univoque, à la région du plan (X, \l) limitée par les droites

X = C', IJL = O, fJt = c*.

Lorsque le point (X, |ji) décrit le contour de cette région dans le sens indiqué par les flèches, les formules (20) montrent que le point {x^ y) décrit les deux axes Oar, Oy dans le sens indiqué par les flèches. La correspondance est donc inverse; c'est ce que l'on vérifie en calculant A,

D(x, \l) ~~ 4 /xjr(x"-~^«)rc2"

130. Changement de variables: deuxième méthode. — Nous allons établir la formule générale (18) par une autre méthode, qui s'appuie uniquement sur la façon même dont on calcule une intégrale double. Nous conservons, bien entendu, les hypothèses faites au début sur la correspondance entre les points des deux régions A, A|. Observons d'abord que, si la formule est vraie pour deux transformations particulières,

y = o(a, i»), ç=^oi{u\ v'), elle est vraie pour la transformation obtenue en les effectuant

3o4 CHAPITRE VI. — INTÉGRALES DOUBLES.

successivement; cela résulte de la propriété connue des détermi nants fonctionnels (n** 30)

De même, si la formule est vraie pour plusieurs régions, A, B, C, . . • , L, auxquelles correspondent des régions A| , B| , Ci , . . . , Li , elle est vraie aussi pour la région A-+-B-|-G-i-.. . -f-L. Enfin, la formule est vraie si le changement de variables se réduit à une transformation de coordonnées

X = aTo-hây'cosa — j^'sina, y =^o -l-a?'sina -i-j^'cosa;

on a A == I , et les deux intégrales sont égales

f f F(x,y)dxdy= I f ¥(xo-^ x'cos ol— y' s'in a, y o-^^' ^'m a -r- y cos a) dx' dy\

car elles représentent un même volume.

Cela posé, nous allons d'abord démontrer la formule pour la transformation particulière

qui fait correspondre à la région Â une région A' comprise entre les mêmes parallèles à O^, y^^y^^ y=^y^^ Nous supposons

Fig. 29.

l^oy^

qu'à tout point de A ne correspond qu'un point de A' et inversement. Si une parallèle à Ox ne rencontre le contour C de A qu'en deux points, il en sera de même du contour C de A'. Aux deux points mo et m^ d'ordonnée^ du contour C, correspondent deux