II. — GHANQBIIENTS DE VARIABLES. 3o

points /n^ et m\ du contour G'. Mais il peut se présenter deux cas suivant que la correspondance est directe ou inverse. Pour distinguer les deux cas, remarquons que, si ^, est positif, x croît avec a-^^ les points m^ et /ni, m^ et m\ sont disposés comme '^ fig' 29 l'indique, et la correspondance est directe. Au contraire, si -?; était négatif, la correspondance serait inverse.

Prenons le premier cas, et soient Xq^ x^^ x'^, x\ les abscisses des points /Wq, /Wi, m^, m\. On a, en appliquant la formule du changement de variable dans une intégrale simple.

f''F(x,y)dx==f''F[^{x\y),y]^,dx\

y et y étant considérés comme constant*; et, par suite,

J'/dyJ V(:r,7 ^b; = f ' dy j'' F[^{x\ y\ y]^^, dx'. Mais le jacobien A se réduit ici à j^ et la formule précédente peut

dx' S'écrire

f Ç V{x,y)dxdy= f f Fl^(x\y),y]\l\dx'dy.

La formule se démontre de la même façon si ^^ est négatif et

s'étend évidemment à une région limitée par un contour de forme quelconque.

On établira tout pareillement qu'en posant

(22) x = x\ y = ^{^\y)i on a la formule

f fF{x,y dxay= f f F[x', ^{x\ y)]\\\dx'dy,

le nouveau champ d'intégration A' correspondanl point par point à la région A.

Considérons maintenant les formules générales de transformation

(23) ir=/(a:i,7i), jr =/i(a'i, 71),

3o6 CHAPITRE VI. — INTéORALES DOUBLES.

et, pour plus de clarté, désignous par (^, y), (^i, y^) les coordonnées de deux points correspondants m, Mi, par rapport à un même système d'axes. Soient A, A| les régions correspondantes limitées par les contours C, C|. Si, aux deux points m, M|, on associe un point m' de coordonnées x'= X|, y=yy ce point m' décrit une région auxiliaire A', et nous supposerons d'abord qu'elle correspond point par point à chacune des régions A, A| . Entre les six coordonnées ^, y, ^n ^n ^\ y\ ^^ a les quatre relations

on en tire d'abord

ce qui définit une transformation de la forme (22). De la relation ^ =/, (a;', y,) on tire ensuite y« = 7r(x', y), et par suite

La transformation considérée (28) résulte donc des deux transformations particulières (24) et (26), auxquelles s'applique la formule générale. Elle s'applique donc aussi à la transformation (28) ellemême.

Remarque. — Nous avons supposé que la région décrite par le point m' correspondait point par point à chacune des aires A, A^ On peut toujours supposer qu'il en est ainsi. En effet, considérons les courbes de la région A| qui correspondent aux droites de A parallèles à Ox. Si ces courbes ne sont rencontrées qu'en un point par une parallèle à Oy il est clair qu'à un point m de A ne correspondra qu'un point m' de A'. Il suffira donc de partager l'aire A| en régions assez petites pour que, dans chacune d'elles, la condition soit satisfaite. Si ces courbes étaient des parallèles à Oy, on commencerait par effectuer sur (xi, y^) une transformation de coordonnées.

131. Aire d'une surface courbe. — Soit S une portion de surface courbe, sans points singuliers, limitée par un contour F. Imaginons qu'on décompose S en portions plus petites d'une façon arbitraire. Soit Si une de ces portions, limitée par un contour yô et nii un point de 5/. Menons le plan tangent en m,- à la surface S,