En évaluant de deux façons différentes l'intégrale double

e-^y sin ax dy dxy

démontrer que Ton a / dx = ± -y pourvu que a ne soil

pas nul.

8. Trouver l'aire de la portion d'un ellipsoïde ou d'un hyperboloïde de révolution, comprise entre deux parallèles.

*9. Aire d*un ellipsoïde à trois axes inégaux, — La moitié de l'aire totale X est égale à l'intégrale double

dxdjTy

étendue à l'intérieur de l'ellipse 6*j?*h- a*^'= a*6*. Parmi les moyens employés pour ramener cette intégrale double à des intégrales elliptiques, un des plus simples, dû à Catalan, consiste dans la transformation du

n*^ 125. En désignant par v la fonction sous le signe / / , et faisant varier (>

de 1 à +0C, on trouve que l'intégrale double est égale à la limite, pour / inGni, de la différence

Tzabl{l^^i) b r^ ((;« — i)rf(>

*/('— s)("— s)""jf /(— i)(--j;r

cette expression se présente sous forme indéterminée, maison peut écrire

et l'expression écrite plus haut a pour limite, comme on le voit aisément,

^rçi /*•*■• dv

EIBRC1CB8. 333

*iO. Si du centre d'un ellipsoïde d*a\es 2a, ib^ ic^ on abaisse des perpendiculaires sur les plans tangents à cet ellipsoïde, Faire de la surface

bc podaire est égale à Taire d'un ellipsoïde dont les demi-axes seraient — »

ac ab

[WiLUAM RoBEETS, Joumal de Liouville, t. XI, i** série, p. 81.] H. En évaluant de deux façons différentes l'intégrale double de

étendue à l'aire du triangle formé par les droites y = Xçi, y ■= x, a: = X, démontrer que l'on a

Ç dx f\x^y)n/iy)dy= f ^^ ~i]^^' Ay)dy.

En déduire la relation

J dxj dx,., J f{x)dx=^j^^-^J {x--y)nf{y)dy.

Établir de même la formule

f xdx j X dx , . . I X dx I /(x)dx

ei vérifier ces formules au moyen de la différentiation sous le signe / .